Теоретические основы параметрических методов обработки экспериментальных данных

Теоретические основы параметрических методов обработки экспериментальных данных

Основные понятия

Параметрические методы обработки экспериментальных данных опираются на основополагающий факт, в соответствии с которым свойства результатов экспериментальных исследований, рассматриваемых как случайные объекты, описываются некоторым законом распределения. При этом предполагается, что анализ экспериментальных данных позволяет с достаточной степенью точности определить вид и конкретную форму закона распределения или значения его параметров, если нет необходимости в использовании самого закона. Такая информация даёт возможность в полном объёме использовать методы теории вероятностей для решения задач обработки.

Так как действительный закон распределения и значения его параметров неизвестны, то параметрические методы оперируют с их приближениями – статистическими законами распределения и оценками параметров распределения.

Статистическим законом распределения случайной величины называется закон распределения данной величины, установленный с помощью статистических методов обработки данных.

Статистический закон распределения может быть определён в виде статистической функции распределения , статистической плотности распределения или статистического ряда распределения P^*(x_i), .

Статистическими оценками параметров закона распределения случайной величины называются приближённые значения данных параметров (статистики), полученные с помощью статистических методов обработки данных.

В дальнейшем статистические оценки для краткости называются просто оценками.

Если некоторый закон распределения характеризуется параметрами a₁, a₂,…, a_m, то их оценки будем обозначать в виде , ,…,. Наиболее распространёнными видами параметров законов распределения при обработке экспериментальных данных являются математическое ожидание , дисперсия или среднее квадратическое отклонение , а для системы случайных величин – корреляционный момент или коэффициент корреляции . Иногда используются центральные моменты третьего и четвёртого порядков. Соответственно при обработке данных используются их статистические аналоги – оценки математического ожидания, корреляционного момента и т.д.

Таким образом, если имеется совокупность экспериментальных данных x₁, x₂,…, x_n, то и статистический закон распределения, например функция , и оценки его параметров представляют собой некоторые функции этих данных:

; (2.1.1)

, . (2.1.2)

Вид статистик y и f_j определяет качество оценок и . В связи с этим возникает ряд проблем, основной из которых является проблема определения условий, при которых оценки (2.1.1) и (2.1.2) могут с требуемой достоверностью представлять теоретические законы распределения и их параметры. Эти условия формируются предельными теоремами теории вероятностей. Именно они служат тем фундаментом параметрических методов обработки экспериментальных данных, на основе которого могут быть получены подходящие оценки законов и параметров распределения наблюдаемых характеристик.

Вторая проблема состоит в выборе достаточной статистики, т.е. такой статистики, которая позволяет в конкретных условиях получать оценки заданного качества. Так как на основе результатов наблюдений x₁, x₂,…, x_n может быть образован большой спектр статистик (2.1.1) и (2.1.2), данная проблема сводится к выбору из них оптимальной в определённом смысле статистики. Решение проблемы осуществляется методами теории статистических решений.

Как видно из рис.1.1, к проблеме принятия решений при обработке экспериментальных данных сводится не только задача выбора достаточной статистики. Большинство задач обработки данных в разной степени может быть отнесено к задачам принятия решений. В связи с этим фундаментом параметрических методов обработки служат также принципы принятия статистических решений, на основе которых сформированы критерии принятия оптимальных в определённом смысле решений. Особую роль среди данных принципов играет принцип максимального правдоподобия и вытекающий из него для случая нормального закона распределения метод наименьших квадратов.

В настоящей брошюре рассматриваются вопросы параметрической обработки экспериментальных данных.

Предельные теоремы теории вероятностей

Использование параметрических методов обработки данных предполагает выявление условий, определяющих справедливость априорных предположений о виде закона распределения исследуемой случайной величины и свойствах его параметров. Эти условия формулируются в виде предельных теорем теории вероятностей. Ниже излагаются содержание и сущность теорем без доказательства, а также некоторые рекомендации по их практическому применению.

Теорема Ляпунова

Теорема. Если последовательность независимых случайных величин , ,…, удовлетворяет условию Ляпунова , где – третий абсолютный центральный момент, то последовательность случайных величин

Теорема Муавра-Лапласа

Теорема. Пусть число появлений события A в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна p. Тогда при n ® ¥… где q = 1– p; , – соответственно математическое ожидание и дисперсия биномиально распределённой случайной величины. …

Неравенство Чебышева

. (2.2.13) Для противоположного события неравенство Чебышева принимает вид . (2.2.14)

Теоремы Чебышева и Маркова

. (2.2.15) Из (2.2.15) и (2.2.1) следует, что при ограниченном n справедливо приближённое… , (2.2.16)

Теорема Бернулли

, где – число появления события A в n испытаниях. При n ® ¥ согласно теореме Ляпунова можно считать, что случайная величина

Элементы теории статистических решений

Задачи принятия статистических решений при обработке экспериментальных данных

Решением называется некоторое заключение, вывод об исследуемом объекте или его свойствах. Обработка данных всегда осуществляется в условиях неопределённости,… Статистическим решением называется некоторое заключение (вывод) об исследуемом объекте или его свойствах, полученное в…

Принцип максимального правдоподобия

Пусть случайная величина имеет плотность распределения , а результаты наблюдения над величиной представляют собой простую (повторную) случайную… . Вероятность появления конкретной реализации X<n> пропорциональна элементу вероятности распределения случайного…

Принцип минимальной вероятности ошибки

Ошибкой первого рода называется ошибка, представляющая собой принятие решения о том, что исследуемый объект не находится в предполагаемом состоянии,… Ошибкой второго рода называется ошибка, представляющая собой принятие решения… В общем случае правило решения должно быть таким, чтобы обеспечивалась минимально возможная вероятность принятия…

Элементы теории оценивания

Пусть схема наблюдения имеет вид , (2.4.1) а вектор ошибок измерений имеет нормальное распределение