Двумерный случайный вектор

В разделе 4 были рассмотрены методы оценивания закона распределения случайной величины во всех его возможных формах – ряда, функции и плотности распределения. Аналогичная задача возникает и при обработке экспериментальных данных в виде случайных векторов, т.е. систем стохастически связанных между собой случайных величин. Такие системы характеризуются многомерными законами распределения.

В данном параграфе более подробно остановимся на оценивании параметров распределения случайных векторов. При этом начнём с рассмотрения частного случая – двумерного вектора, т.е. системы двух случайных величин.

Над системой двух случайных величин произведено n независимых равноточных наблюдений, в результате которых получена последовательность пар чисел , (табл.5.3), которые можно интерпретировать как координаты точек , , …, плоскости.

Таблица 5.3

Двумерный массив экспериментальных данных

i			×××	i	×××	n
xi	x1	x2	×××	xi	×××	xn
yi	y1	y2	×××	yi	×××	yn

Требуется по результатам наблюдений определить состоятельные, несмещённые и эффективные (асимптотически эффективные) оценки числовых характеристик , , , , системы случайных величин . В данном случае – корреляционный момент и .

Задача определения точечных оценок параметров двумерного распределения решается так же, как и для одной случайной величины. При этом оценки координат , центра рассеяния системы находятся по формулам

, , (5.3.1)

а оценки элементов её корреляционной матрицы определяются выражениями

(5.3.2)

Если математические ожидания , известны, то элементы корреляционной матрицы определяются выборочными дисперсиями и корреляционным моментом (см. п.п. 5.2.1):

При вычислении оценок , , целесообразно воспользоваться известной связью между центральными и начальными моментами, которая имеет место и для их статистических аналогов

(5.3.3)

С учётом (5.3.3) выражения (5.3.2) принимают вид, который обычно используется на практике:

(5.3.4)

Очевидно, что оценка коэффициента корреляции найдётся по формуле

. (5.3.5)

П р и м е р 5.9. Пусть и – координаты пробоины в мишени после выстрела (в сантиметрах). По мишени произведено 10 независимых выстрелов, результаты которых сведены в табл.5.4, где i – номер выстрела. Найти оценки числовых характеристик , , , , , системы случайных величин .

Таблица 5.4

Координаты пробоин в мишени

i
xi			2,5	1,5		3,5		2,5	1,5
yi				3,5	1,5	5,5	2,5	4,5

▼ По формулам (5.3.1) получим

, .

Используя соотношения (5.3.4), имеем:

Наконец, используя табл.5.1, по формулам (5.2.13) и (5.3.5), получим:

▲