Нестационарные случайные функции
Реализации xi(t), 
случайной функции 
представляют собой неслучайные функции, значения которых xi(tj) в фиксированных точках tj, j = 1,2,… являются реализациями xij случайных величин 
.
Пусть над случайной функцией произведено n независимых равноточных наблюдений (опытов), в результате которых получено n её реализаций xi(t), (рис.5.3).
Рис.5.3. Реализации случайной функции
Требуется найти оценки числовых характеристик случайной функции: математического ожидания 
, дисперсии 
и корреляционной функции 
, удовлетворяющие требованиям состоятельности, несмещённости и эффективности (асимптотической эффективности).
В ряде сечений случайной функции, соответствующих моментам времени t1, t2,…, tj,…,tm, фиксируются значения, принятые реализациями xi(t) функции в эти моменты. Поскольку наблюдалось n реализаций, то каждому из моментов tj, 
будут соответствовать n значений, принятых случайной величиной . Указанная случайная величина является j-м сечением случайной функции . Расстояния
h = hj = tj+1 – tj
между фиксируемыми сечениями 
случайной функции обычно берутся одинаковыми и назначаются так, чтобы последовательность xi(tj), позволяла восстановить основной характер зависимости xi(t). Нередко в основу выбора кладётся теорема В.А. Котельникова, согласно которой для точного восстановления непрерывной функции достаточно её наблюдать в равноотстоящих дискретных точках с частотой, в два раза превышающей максимум её частотного спектра [2,13]. Бывает, что приведённые соображения являются излишними и расстояние задаётся темпом работы регистрирующей аппаратуры.
Для удобства последующей статистической обработки зарегистрированные данные сводятся в таблицу, строки которой соответствуют реализациям, а столбцы – сечениям случайной функции (табл.5.6).
Таблица 5.6
Зарегистрированные значения случайной функции
| xi(t) | t | |||||||
| t1 | t2 | ××× | tj | ××× | tl | ××× | tm | |
| x1(t) | x1(t1) | x1(t2) | ××× | x1(tj) | ××× | x1(tl) | ××× | x1(tm) |
| x2(t) | x2(t1) | x2(t2) | ××× | x2(tj) | ××× | x2(lj) | ××× | x2(tm) |
| ××× | ××× | ××× | ××× | ××× | ××× | ××× | ××× | ××× |
| xi(t) | xi(t1) | xi(t2) | ××× | xi(tj) | ××× | xi(tl) | ××× | xi(tm) |
| ××× | ××× | ××× | ××× | ××× | ××× | ××× | ××× | ××× |
| xn(t) | xn(t1) | xn(t2) | ××× | xn(tj) | ××× | xn(tl) | ××× | xn(tm) |
Приведённая в табл.5.6 совокупность значений случайной функции представляет собой результаты n наблюдений m-мерного случайного вектора
и обрабатывается по методике § 5.3.
Так, оценки математических ожиданий сечений случайной функции находятся по формулам
, . (5.4.1)
Соединяя точки 
отрезками прямых, можно построить приближённый график (рис.5.3) оценки 
математического ожидания 
случайной функции . Очевидно, что возможны и другие виды интерполяции, например, квадратичная.
Несмещенные оценки дисперсий и корреляционных моментов сечений определяются соответственно следующими соотношениями:
, . (5.4.2)
, 
. (5.4.3)
Легко заметить, что формула (5.4.2) может быть получена и из выражения (5.4.3) при l = j, поскольку 
.
В вычислительном отношении более удобны формулы, основанные на связи начальных и центральных моментов, т.е.
, . (5.4.4)
, . (5.4.5)
При практическом использовании формул (5.4.4) и (5.4.5) рекомендуется начало отсчёта значений случайной функции перенести ближе к её математическому ожиданию. Это позволит избежать вычислений разности близких чисел.
П р и м е р 5.11. Результаты наблюдения 11 реализаций случайной функции в момент времени 
приведены в табл.5.7.
Таблица 5.7
Реализации случайной функции
| xi(t) | t | ||||||||||
| x1(t) | 0,7 | 1,2 | 2,0 | 3,2 | 4,7 | 6,0 | 6,4 | 6,6 | 6,3 | 5,6 | 5,0 |
| x2(t) | 1,2 | 2,0 | 3,6 | 4,6 | 5,1 | 5,5 | 6,0 | 6,2 | 6,2 | 6,0 | 6,0 |
| x3(t) | 2,0 | 3,3 | 4,1 | 4,4 | 4,5 | 4,5 | 4,8 | 5,5 | 6,0 | 6,3 | 6,2 |
| x4(t) | 2,5 | 2,9 | 3,0 | 3,2 | 3,8 | 4,7 | 5,4 | 5,5 | 5,4 | 5,7 | 6,2 |
| x5(t) | 2,7 | 3,8 | 4,7 | 5,1 | 5,3 | 5,2 | 5,0 | 4,9 | 5,1 | 5,7 | 6,6 |
| x6(t) | 3,2 | 3,9 | 4,1 | 4,1 | 4,0 | 4,2 | 5,0 | 6,0 | 6,3 | 6,1 | 5,7 |
| x7(t) | 3,8 | 4,5 | 5,0 | 5,4 | 5,5 | 5,6 | 5,5 | 5,5 | 5,2 | 5,0 | 4,9 |
| x8(t) | 4,1 | 3,8 | 3,6 | 3,9 | 4,8 | 5,8 | 6,2 | 6,1 | 5,7 | 5,4 | 5,4 |
| x9(t) | 4,2 | 4,9 | 5,0 | 4,6 | 4,3 | 4,0 | 4,2 | 4,7 | 5,7 | 6,6 | 6,8 |
| x10(t) | 5,4 | 4,3 | 3,2 | 2,9 | 3,1 | 3,8 | 4,5 | 5,5 | 6,4 | 7,0 | 7,2 |
| x11(t) | 5,8 | 5,6 | 5,4 | 5,2 | 4,8 | 4,5 | 4,3 | 4,3 | 4,4 | 4,5 | 4,8 |
Требуется определить оценки числовых характеристик случайной функции .
▼ По формуле (5.4.1) вычисляются оценки 
и результаты сводятся в табл.5.8.
Таблица 5.8
Оценки математических ожиданий сечений случайной функции
| tj | |||||||||||
| 3,2 | 3,7 | 4,0 | 4,2 | 4,5 | 4,9 | 5,2 | 5,5 | 5,7 | 5,8 | 5,9 |
По формуле (5.4.3) или (5.4.5) вычисляются оценки 
и результаты сводятся в табл.5.9, диагональные элементы 
которой представляют собой оценки 
дисперсий 
в сечениях случайной функции .
В рассмотренном примере пришлось 11 производить вычисления по формуле (5.4.1) и 66 раз – по формуле (5.4.3) или (5.4.5). Это свидетельствует о большой трудоёмкости задачи оценивания вероятностных характеристик нестационарных случайных функций.
Таблица 5.9
Корреляционные моменты случайной функции
| tl | tj | ||||||||||
| 2,6 | 1,9 | 0,9 | 0,2 | –0,3 | –0,7 | –0,8 | –0,7 | –0,4 | –0,1 | –0,1 | |
| 1,6 | 1,1 | 0,5 | –0,07 | –0,5 | –0,7 | –0,7 | –0,5 | –0,1 | 0,07 | ||
| 1,0 | 0,7 | 0,3 | –0,06 | –0,5 | –0,6 | –0,4 | –0,2 | –0,05 | |||
| 0,7 | 0,7 | 0,09 | –0,2 | –0,3 | –0,3 | –0,3 | –0,2 | ||||
| 0,5 | 0,4 | 0,2 | –0,03 | –0,2 | –0,3 | –0,3 | |||||
| 0,6 | 0,5 | 0,3 | –0,3 | –0,4 | |||||||
| 0,6 | 0,4 | 0,1 | –0,1 | –0,3 | |||||||
| 0,5 | 0,3 | –0,2 | –0,4 | ||||||||
| 0,4 | 0,3 | 0,2 | |||||||||
| 0,5 | 0,5 | ||||||||||
| 0,7 |
▲