Êà÷åñòâî îöåíèâàíèÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé
Èçâåñòíî, ÷òî ñå÷åíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè 
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáû÷íûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, à ñîâîêóïíîñòè ñå÷åíèé – ñëó÷àéíûå âåêòîðû, âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè êîòîðûõ (çàêîíû è ïàðàìåòðû ðàñïðåäåëåíèÿ) çàâèñÿò îò çíà÷åíèé tj, 
ïàðàìåòðà t.
Âûøå îòìå÷àëîñü, ÷òî ôîðìàëüíî ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà íà ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà åãî êîìïîíåíòîâ. Îäíàêî íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îãðàíè÷åííîãî è, êàê ïðàâèëî, íåâûñîêîãî ïîðÿäêà. Òàêàÿ ïîñòàíîâêà ýêâèâàëåíòíà ìîäåëèðîâàíèþ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñëó÷àéíûì âåêòîðîì
. (5.4.13)
Òàêèì îáðàçîì, â îñíîâå ïîäõîäîâ ê îöåíèâàíèþ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ëåæàò ìåòîäû îöåíèâàíèÿ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è âåêòîðîâ, ðàññìîòðåííûå ðàíåå. Ïîýòîìó íèæå ðàññìàòðèâàþòñÿ ëèøü íåêîòîðûå îñîáåííîñòè, ïðèñóùèå òîëüêî ñëó÷àéíûì ôóíêöèÿì.
Òàáëèöà 5.12
Ðàñ÷¸òíàÿ òàáëèöà îöåíîê ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñòàöèîíàðíîé ýðãîäè÷íîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè
| j | u(tj) | 
| 
| ||||||||||
| l | |||||||||||||
| 4,0 | 2,0 | 4,00 | 4,20 | 3,60 | 0,00 | –2,00 | –4,60 | –4,40 | –2,00 | 3,00 | 1,00 | 1,20 | |
| 4,1 | 2,1 | 4,41 | 3,78 | 0,00 | –2,10 | –4,83 | –4,62 | –2,10 | 3,15 | 1,05 | 1,26 | 0,00 | |
| 3,8 | 1,8 | 3,24 | 0,00 | –1,80 | –4,14 | –3,96 | –1,80 | 2,70 | 0,90 | 1,08 | 0,00 | –2,52 | |
| 2,0 | 0,0 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | |
| 1,0 | –1,0 | 1,00 | 2,30 | 2,20 | 1,00 | –1,50 | –0,50 | –0,60 | 0,00 | 1,40 | –0,50 | –1,30 | |
| –0,3 | –2,3 | 5,29 | 5,06 | 2,30 | –3,45 | –1,15 | –1,38 | 0,00 | 3,22 | –1,15 | –2,99 | –4,14 | |
| –0,2 | –2,2 | 4,84 | 2,20 | –3,30 | –1,10 | –1,32 | 0,00 | 3,08 | –1,10 | –2,86 | –3,96 | 1,76 | |
| 1,0 | –1,0 | 1,00 | –1,50 | –0,50 | –0,60 | 0,00 | 1,40 | –0,50 | –1,30 | –1,80 | 0,80 | 1,50 | |
| 3,5 | 1,5 | 2,25 | 0,75 | 0,90 | 0,00 | –2,10 | 0,75 | 1,95 | 2,70 | –1,20 | –2,25 | –3,75 | |
| 2,5 | 0,5 | 0,25 | 0,30 | 0,00 | –0,70 | 0,25 | 0,65 | 0,90 | –0,40 | –0,75 | –1,25 | –0,75 | |
| 2,6 | 0,6 | 0,36 | 0,00 | –0,84 | 0,30 | 0,78 | 1,08 | –0,48 | –0,90 | –1,50 | –0,90 | 0,72 | |
| 2,0 | 0,0 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 1,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | |
| 0,6 | –1.4 | 1,96 | –0,70 | –1,82 | –2,52 | 1,12 | 2,10 | 3,50 | 2,10 | –1,68 | –2,80 | –0,42 | |
| 2,5 | 0,5 | 0,25 | 0,65 | 0,90 | –0,40 | -0,75 | –1,25 | –0,75 | 0,60 | 1,00 | 0,15 | –0,75 | |
| 3,3 | 1,3 | 1,69 | 2,34 | –1,04 | –1,95 | –3,25 | –1,95 | 1,56 | 2,60 | 0,39 | –1,95 | 0,52 | |
| 3,8 | 1,8 | 3,24 | –1,44 | –2,70 | –4,50 | –2,70 | 2,16 | 3,60 | 0,54 | –2,70 | 0,72 | 2,16 | |
| 1,2 | –0,8 | 0,64 | 1,20 | 2,00 | 1,20 | –0,96 | –1,60 | –0,24 | 1,20 | –0,32 | –0,96 | 0,00 | |
| 0,5 | –1,5 | 2,25 | 3,75 | 2,25 | –1,80 | –3,00 | –0,45 | 2,25 | –0,60 | –1,80 | 0,00 | 2,25 | |
| –0,5 | –2,5 | 6,25 | 3,75 | –3,00 | –5,00 | –0,75 | 3,75 | –1,00 | –3,00 | 0,00 | 3,75 | – | |
| 0,5 | –1,5 | 2,25 | –1,80 | –3,00 | –0,45 | 2,25 | –0,60 | –1,80 | 0,00 | 2,25 | – | – | |
| 3,2 | 1,2 | 1,44 | 2,40 | 0,36 | –1,80 | 0,48 | 1,44 | 0,00 | –1,80 | – | – | – | |
| 4,0 | 2,0 | 4,00 | 0,60 | –3,00 | 0,80 | 2,40 | 0,00 | –3,00 | – | – | – | – | |
| 2,3 | 0,3 | 0,09 | –0,45 | 0,12 | 0,36 | 0,00 | –0,045 | – | – | – | – | – | |
| 0,5 | –1,5 | 2,25 | –0,60 | –1,80 | 0,00 | 2,25 | – | – | – | – | – | – | |
| 2,4 | 0,4 | 0,16 | 0,48 | 0,00 | –0,60 | – | – | – | – | – | – | – | |
| 3,2 | 1,2 | 1,44 | 0,00 | –1,80 | – | – | – | – | – | – | – | – | |
| 2,0 | 0,0 | 0,00 | 0,00 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | |
| 0,5 | –1,5 | 2,25 | – | – | – | – | – | – | – | – | – | – | |
| S | 0,0 | 56,80 | 27,27 | –9,97 | –27,45 | –18,74 | –4,87 | 4,67 | 5,91 | –5,59 | –9,88 | –3,52 | |
| m–l | ||||||||||||
| 2,03 | 1,01 | –0,38 | –1,10 | –0,78 | –0,21 | 0,21 | 0,28 | –0,28 | –0,52 | –0,19 |
×èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè 
, 
, 
ñëó÷àéíîé ôóíêöèè çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà t, ñëåäîâàòåëüíî, îò íåãî çàâèñÿò êàê îöåíêè 
, 
, 
, òàê è õàðàêòåðèñòèêè èõ êà÷åñòâà – äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû:
; (5.4.14)
; (5.4.15)
, (5.4.16)
à òàêæå äîâåðèòåëüíûå âåðîÿòíîñòè:
; (5.4.17)
; (5.4.18)
, (5.4.19)
Âî âñåõ ïðèâåä¸ííûõ âûðàæåíèÿõ n – ýòî ÷èñëî íàáëþäàåìûõ ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè . Åñëè ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ 
ñòàöèîíàðíà, òî âûðàæåíèÿ (5.4.14)–(5.4.19) óïðîùàþòñÿ è ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä:
;
;
,
;
;
,
ãäå T – ïðîäîëæèòåëüíîñòü íàáëþäåíèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè .
5.4.4. Ïîòðåáíûé îáú¸ì íàáëþäåíèé
Ïðè îöåíèâàíèè ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê íåñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïîòðåáíîãî ÷èñëà n å¸ ðåàëèçàöèé xi(t), 
. Ïîñêîëüêó âñå ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, à òàêæå õàðàêòåðèñòèêè (5.4.14) – (5.4.19) êà÷åñòâà îöåíèâàíèÿ çàâèñÿò îò ïàðàìåòðà t, òî îò íåãî áóäåò çàâèñåòü è ïîòðåáíûé îáú¸ì n âûáîðêè ðåàëèçàöèé:
; (5.4.20)
; (5.4.21)
. (5.4.22)
Âûðàæåíèÿìè (5.4.20)–(5.4.22) îïðåäåëÿåòñÿ ïîòðåáíûé îáú¸ì ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè äëÿ îöåíêè ñîîòâåòñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äèñïåðñèè è êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè. Èç äàííûõ âûðàæåíèé ñëåäóåò, ÷òî îöåíèâàíèå ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíîé ôóíêöèè äëÿ ðàçëè÷íûõ å¸ ñå÷åíèé ìîæåò ïîòðåáîâàòü ðàçëè÷íîãî ÷èñëà ðåàëèçàöèé. Òàêîå òðåáîâàíèå ïðàêòè÷åñêè íåîñóùåñòâèìî. Ïîýòîìó òðåáóåìûé îáú¸ì nk, k = 1, 2, 3 îïðåäåëÿåòñÿ êàê 
, ñîîòâåòñòâóþùèé ìèíèìóìó äèñïåðñèè îöåíêè k-é ÷èñëîâîé õàðàêòåðèñòèêè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè:
;
;
.
Ïðè îöåíèâàíèè ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè íàáëþäàåòñÿ âñåãî îäíà å¸ ðåàëèçàöèÿ u(t). Ïîýòîìó çäåñü âîçíèêàåò âîïðîñ î äëèòåëüíîñòè íàáëþäåíèÿ T, ïîòðåáíîé äëÿ îöåíèâàíèÿ õàðàêòåðèñòèê ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ I èëè e è íàä¸æíîñòüþ b.
Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ñòàöèîíàðíà, òî âñå å¸ ñå÷åíèÿ ðàñïðåäåëåíû îäèíàêîâî. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé u(tj), íàáëþäàåìîé ðåàëèçàöèè u(t) ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ìîæåò èíòåðïðåòèðîâàòüñÿ êàê îäíîðîäíàÿ âûáîðêà u(t1), u(t2),…, u(tm), ýëåìåíòû êîòîðîé ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé æå ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Òåïåðü çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ïîòðåáíîãî îáú¸ìà n ýòîé âûáîðêè.
Ïî ìåòîäèêàì, èçëîæåííûì â §§ 5.1 – 5.3, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèÿ:
;
;
.
Òàê êàê íàáëþäàåòñÿ âñåãî îäíà ðåàëèçàöèÿ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, òî ïîòðåáíîå ÷èñëî n å¸ èçìåðåíèé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:
n = max{n1; n2; n3}. (5.4.23)
Ïîñêîëüêó ðåãèñòðàöèÿ çíà÷åíèé ðåàëèçàöèè u(t) ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè îáû÷íî ïðîèçâîäèòñÿ ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè äëèòåëüíîñòüþ h, òî ïîòðåáíàÿ äëèòåëüíîñòü íàáëþäåíèÿ ðåàëèçàöèè îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
T = nh,
ãäå n íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ (5.4.23).