Оценивание дисперсии и среднего квадратического отклонения при известном математическом ожидании
Вводим случайную величину
, (5.2.1)
которая называется дисперсией случайной выборки или статистической, выборочной дисперсией. Установим некоторые из свойств случайной величины (5.2.1).
1. Преобразуем 
к виду
,
т.е. является линейной функцией от случайной величины 
, подчинённой хи-квадрат распределению (распределению К. Пирсона) с n степенями свободы. Следовательно
. (5.2.2)
Таким образом, – несмещённая оценка 
.
2. Поскольку
, (5.2.3)
то при n ® ¥ имеет место 
® 0. Иначе, дисперсия случайной выборки асимптотически эффективная оценка .
3. Как следует из (5.2.2) и (5.2.3), случайная величина имеет числовые характеристики
.
Поскольку
,
то оценка является состоятельной.
Итак, при n ® ¥ дисперсия случайной выборки (5.2.1) представляет собой подходящее значение дисперсии случайной величины 
. При малых n она в общем случае не вполне эффективна.
П р и м е р 5.4. Полагая 
= 100 ч, в условиях примера 4.1 найти оценку 
дисперсии 
случайной величины 
.
▼ Используем данные табл.4.3 и по формуле (5.2.1) получаем
.
▲
Если объём n выборки достаточно велик, то для вычисления оценки 
можно пользоваться приближённой формулой
, (5.2.4)
где 
и 
имеют тот же смысл, что и в формуле (5.1.4).
П р и м е р 5.5. Полагая = 100 ч, в условиях примера 4.2 найти приближённое значение оценки 
дисперсии случайной величины .
▼ Используя табл.4.7, по формуле (5.2.4) получаем
.
▲
Теперь найдем оценку среднего квадратического отклонения 
. Формула для определения статистического среднего квадратического отклонения имеет вид
.
Требуется выявить основные свойства 
.
1. Из вышеизложенного следует, что является состоятельной и асимптотически эффективной оценкой 
.
2. Поскольку
,
то
,
где 
- гамма-функция (интеграл Эйлера 2 рода).
Полученное соотношение указывает на смещённость оценки среднего квадратического отклонения.
Если величину исправить, умножив её на коэффициент
,
то полученная в результате функция случайной выборки
(5.2.5)
будет состоятельной, несмещённой и асимптотически эффективной оценкой среднего квадратического отклонения случайной величины . В табл.5.1 приведены значения коэффициента kn для некоторых n. Эти значения используются при вычислении оценки (5.2.5).
Таблица 5.1
Значения коэффициента kn
| n | |||||||||
| kn | 1,128 | 1,085 | 1,064 | 1,051 | 1,042 | 1,028 | 1,021 | 1,014 | 1,010 |
Из таблицы видно, что необходимость в исправлении оценки возникает лишь при малых объёмах выборки, так как с их увеличением коэффициент kn достаточно быстро приближается к единице.