Общий подход к проверке гипотез

Подход к решению задачи проверки гипотез рассмотрим на следующих двух примерах.

П р и м е р 6.1. На склад готовой продукции микросхемы одного типа поступают с двух заводов, выпускающих продукцию разного качества, и такими же партиями микросхемы отпускаются со склада потребителю. Качество продукции заводов характеризуется вероятностью p того, что случайным образом выбранная микросхема является бракованной. Для одного завода p = p₀, для другого p = p₁ (p₀ < p₁). Потребитель произвольно выбирает одну партию микросхем. Необходимо на основании результатов контроля решить, на каком заводе изготовлена выбранная партия микросхем.

▼ Введём нулевую гипотезу H₀, состоящую в том, что выбранная партия микросхем изготовлена на одном заводе (вероятность брака равна p₀), и конкурирующую гипотезу H₁ о том, что партия микросхем изготовлена на другом заводе (вероятность брака равна p₁).

Отберём из партии случайным образом n изделий. Обозначим число бракованных микросхем среди отобранных символом . Очевидно, что – дискретная случайная величина, множество значений которой

X_{n} = {0, 1, 2,..,n}.

Назовём решающим правилом или критерием проверки гипотезы совокупность условий, при которых нулевая гипотеза принимается или отвергается.

В рассматриваемом примере решающее правило будет состоять в некотором разбиении множества X_{n} на два подмножества X₀ и X₁ (X₀ È X₁ = X, X₀ Ç X₁ = Æ) таких, что при попадании возможного значения случайной величины в множество X₀ гипотеза H₀ принимается, а в множество X₁ – отвергается. ▲

Разбиение множества x на подмножества X₀ и X₁ можно осуществлять различным образом, поэтому прежде чем решать поставленную задачу, необходимо определить, какое из возможных разбиений множества X на подмножества X₀ и X₁ следует выбрать.

П р и м е р 6.2. На вход приёмного устройства в некоторый момент времени поступает случайный сигнал , который представляет сумму известного сигнала x и случайной помехи , либо одну помеху . Измеряется величина , и на основании полученного числового значения y необходимо установить, присутствовал ли на входе сигнал, т.е. выбрать одну из возможностей: или .

▼ Введём нулевую гипотезу H₀, состоящую в том, что сигнал присутствует () и конкурирующую гипотезу о том, что сигнал на входе отсутствует ().

Множество Y возможных значений случайной величины представляет собой всю числовую ось. Решающее правило в данном случае будет состоять в разбиении множества Y на две части Y₀ и Y₁, такие, что при попадании возможного значения случайной величины в множество Y₀ гипотеза H₀ принимается, а при попадании возможного значения в множество Y₁ эта гипотеза отвергается. Как и в предыдущей задаче, необходимо решить вопрос о таком разбиении. ▲

Из приведённых примеров видно, что при наличии способов разбиения множества возможных значений наблюдаемой величины или на подмножества, соответствующие приёму и отклонению гипотезы H₀, общий подход к решению задачи проверки гипотез включает в себя следующие этапы.

1. Выдвигается нулевая и конкурирующая гипотезы.

2. Выбирается некоторая величина, которая представляет собой функцию элементов выборки, связана с нулевой и конкурирующей гипотезами и зависит от условий проведения эксперимента. В дальнейшем эту величину будем называть показателем согласованности гипотезы.

3. Выбирается критерий проверки (критерий согласия, критерий соответствия), т.е. совокупность правил, указывающих, при каких значениях показателя согласованности гипотеза отвергается, а при каких не отвергается.

4. Множество возможных значений показателя согласованности в соответствии с принятым критерием разбивается на два подмножества таким образом, что попадание возможного значения данного показателя в одно из этих подмножеств означает принятие гипотезы H₀, а в другое – отклонение указанной гипотезы.

5. Проводится эксперимент, вычисляется величина показателя и определяется, к какому из подмножеств относится эта величина, на основании чего принимается решение о приёме или отклонении гипотезы H₀.

Из описанного выше общего подхода к решению задачи проверки гипотез следует, что это решение связано с предварительным выбором показателя согласованности и критерия проверки гипотез, которые должны обладать определёнными свойствами.