Проверка гипотез об аномальности результатов наблюдений

При обработке экспериментальных данных существенное значение имеет процесс предварительной обработки, одним из этапов которого является исключение результатов, содержащих грубые ошибки, т.е. аномальных результатов.

В любой выборке сомнительными являются, как правило, наибольший и наименьший элементы, которые и подлежат проверке. Обозначим через и наименьший и наибольший элементы случайной выборки , ,…, , а через x₁ и x_n – реализации этих элементов в данном эксперименте.

Предположим, что сомнительным является наибольший элемент x_n случайной выборки. При этом будем полагать, что наблюдаемая величина подчинена нормальному закону распределения с известными числовыми характеристиками и . Уровень значимости примем равным некоторой достаточно малой вероятности a. Для выборки, состоящей из одного элемента x, можно утверждать, что он является следствием грубой ошибки, если

(6.7.1)

или

.

Следовательно, при n = 1 в качестве показателя согласованности гипотезы целесообразно использовать случайную величину

, (6.7.2)

а критическую границу определять на основе выражения

u_a = t_1–2a. (6.7.3)

Однако при проверке аномальности крайнего элемента случайной выборки объёма n > 1 использование показателя согласованности вида (6.7.2) может привести к грубым ошибкам. Покажем это на примере.

П р и м е р 6.3. Пусть n = 1 и a = 0,05.

▼ В приложении 4 находим

u_a = t_1–2a = t_0,9 = 1,64. (6.7.4)

Подставив найденное значение u_a в формулу (6.7.1), получим

. (6.7.5)

Таким образом, при одном испытании будем констатировать факт грубой ошибки, если наблюдаемое значение случайной величины удовлетворяет неравенству (6.7.5).

Увеличим теперь число испытаний до 20 и найдём вероятность того, что наибольший член выборки превзойдёт величину x_a:

. (6.7.6)

Предполагая, что испытания независимы, и учитывая, что

, ,

из выражения (6.7.6) получим

.

Таким образом, при использовании критической границы, определяемой выражением (6.7.4), 65% нормальных наибольших элементов выборки следует признать аномальными. Иначе, вероятность ошибки первого рода при 20 испытаниях увеличится до 0,65.

▲

С целью устранения указанного недостатка необходимо по мере увеличения объёма выборки сдвигать критическую границу вправо относительно значения u_a, определяемого равенством (6.7.4).

Для построения критической области, удовлетворяющей указанному требованию, рассмотрим функцию распределения . Примем во внимание то обстоятельство, что для наступления события ( < x) необходимо, чтобы все элементы выборки были меньше x:

. (6.7.7)

Далее учитываем, что

. (6.7.8)

К правой части выражения (6.7.7) применяем теорему умножения вероятностей независимых событий ( < x), и принимаем во внимание (6.7.8). В результате получаем

. (6.7.9)

Границу u_a критической области, отвечающей уровню значимости a, можно найти как квантиль случайной величины при аргументе 1–a. Зависимость между u_a и a определяется равенствами:

;

. (6.7.10)

Подставляем x = u_a в формулу (6.7.9) и на основании равенства (6.7.10) получим уравнение

. (6.7.11)

Решаем (6.7.11) относительно u_a и находим

. (6.7.12)

Так как вероятность a обычно мала, то

и, следовательно,

. (6.7.13)

Подставляя соотношение (6.7.13) в (6.7.12), получим

. (6.7.14)

Выражение (6.7.12) и применяется для определения критической границы в случае, если n > 1.

Порядок проверки гипотезы об аномальном значении наибольшего элемента выборки состоит в следующем.

1. Элемент, относительно которого выдвигается гипотеза, исключается из выборки, т.е. её объём уменьшается на единицу.

2. Назначается уровень значимости a и по приложению 4 определяется значение .

3. По формуле (6.7.14) определяется критическая граница. При отсутствии априорных значений и в данной формуле используются оценки и . При их вычислении предполагаемый аномальный результат из выборки исключается.

4. Наблюдаемое значение показателя согласованности гипотезы определяется по формуле

. (6.7.15)

5. Проверяется условие u > u_a. Если оно выполняется, то наибольший элемент выборки, по отношению к которому выдвигалось предположение о наличии грубой ошибки, отбрасывается. При u £ u_a этот элемент сохраняется в выборке, поскольку данные эксперимента не подтверждают гипотезы о наличии грубой ошибки. Для подтверждения полученного вывода необходимо повторить проверку по пунктам 1–5, но с включением сомнительного элемента в выборку.

При рассмотрении в качестве аномального наименьшего элемента случайной выборки, порядок проверки гипотезы сохраняется, но в качестве показателя согласованности последней используется случайная величина

.

При этом проверяемый элемент отбрасывается, если u > u_a, и сохраняется в противном случае.

П р и м е р 6.4. С помощью радиодальномера производятся 20 измерений дальности до объекта. Точность радиодальномера характеризуется среднеквадратическим отклонением = 50 м. Имеются ли основания полагать, что наибольшее отклонение

,

зафиксированное в данной серии наблюдений, содержит грубую ошибку? Уровень значимости критерия проверки гипотезы принять равным 0,05.

▼ По условию задачи n = 20, a = 0,05. В соответствии с выражением (6.7.15) значение показателя согласованности

.

Границу критической области находим в приложении 4:

.

Так как u > u_a, то наибольшее отклонение содержит грубую ошибку и его следует из дальнейшего рассмотрения исключить.

▲