Автокорреляционная функция

(8)

(9)

Действительно, умножая (6) на и переходя к математическим ожиданиям, получим:

или (10)

При k=0

Умножим (6) на и перейдем к математическим ожиданиям:

Следовательно, с учетом того, что , имеем:

, т.е. подтвердили (7). Далее, подставляя в (10) k=1, имеем

(8)

И, наконец, , т.е.

(9)

Умножив все члены (6) на и, переходя к математическим ожиданиям, получим:

или

(11)

Отсюда автоковариационная функция процесса равна:

(подстановкой в (7) выражений (8) и (11)) или:

(12)

Теперь, подставляя в (8) выражение (12), получим:

следовательно,

(13)

(14)

Отсюда следует, что автокорреляционная функция экспоненциально убывает от значения , зависящего от и .

Как показано на рисунке, это затухание монотонное, если положительно, и колебательное, если отрицательно.

Далее, знак определяется знаком () и указывает, происходит ли затухание в области положительных или отрицательных значений.

Пользуясь (12), (13), (14) можно вырезать первые две автокорреляции через параметры процесса:

(15)

(16)

Т.к. всегда больше нуля, то и , следовательно знаменатель (15) больше 0, и поскольку , то . Знак действительно зависит от .

Знаки последующих зависят от знака и знака .

Комментарии к рисунку
I квадрат	а)	б)
II квадрат
III квадрат	а)	б)
IV квадрат

Из условий стационарности и обратимости процесса , а также из (15) и (16) вытекает, что и должны лежать в области:

(17)

Область допустимых значений и показана на рисунке. Она ограничивает диапазон допустимых комбинаций и для стационарного обратимого процесса АРСС (1,1)

Действительно, посмотрим во что переходит область допустимых значений, изображенная на следующем рисунке:

ЛЕКЦИЯ 7

ЛИНЕЙНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ МОДЕЛИ