Закон сохранения импульса.

 

Докажем закон сохранения импульса. Для этого рассмотрим систему, состоящую из N тел (на рис. 1.11 для простоты приведена система из трех тел - м.т).

Рис.1.11.

На каждое тело системы действуют внешние силы () со стороны не входящих в эту систему тел (м.т.), и внутренние силы () со стороны других тел системы. Внутренние силы системы связаны между собой третьим законом Ньютона

(1.30)

Запишем уравнения второго закона Ньютона (1.27) для всех тел системы и затем сложим эти уравнения

,

 

Векторная сумма всех внутренних сил с учетом (1.30) равна нулю и поэтому

, (1.31)

где введен импульс системы как векторная сумма импульсов тел системы

(1.32)

Итак, согласно (1.31) векторная сумма импульсов тел системы (или импульс системы) изменяется за счет действия внешних сил.

Если взять замкнутую систему, т.е. систему, на которую не действуют внешние силы (), то тогда выполняется закон сохранения импульса, согласно которому векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остается постоянной или импульс замкнутой системы остается постоянным.

, (1.33)

 

Реально выделить замкнутую систему достаточно трудно. Но и в незамкнутых системах в ряде случаев можно использовать закон сохранения импульса. Перечислим их. 1.Внешние силы компенсируют друг друга. Такую систему, например, составляют рассмотренные в §1.2.1 два тела, движущиеся по гладкой горизонтальной поверхности (отсутствуют силы трения) навстречу друг другу (рис. 1.8). В этом случае внешние силы – силы тяжести ,, нормальная реакция опоры компенсируют друг друга, а возникающие при столкновении тел внутренние силы, силы деформации, не могут изменить импульс системы . Из этого следует, что m₁/m₂ =, т.е. из закона сохранения импульса можно количественно оценить соотношение масс этих тел, их инертность. 2. Внешние силы не компенсируют друг друга, но их проекция на какую-либо ось остается равной нулю. Хотя импульс системы изменяется, но его проекция на эту ось сохраняется. Примером такой системы является система, состоящая из двух тел, одно из которых движется по гладкой поверхности со скоростью , а другое падает вертикально вниз со скоростью и испытывает абсолютно неупругое столкновение с первым телом. В результате этого они движутся с одинаковой скоростью , образуя единое целое (рис. 1.12).

Рис.1.12.

 

Сумма внешних сил до удара (), во время удара и после удара () изменяется, но их проекция на ось Ох остается все время равной нулю и поэтому . Такие системы называются квазизамкнутыми. 3. Внешние силы значительно меньше по модулю внутренних сил, действующих между телами в системе ( ). Это наблюдается при сильных кратковременных взаимодействиях: удар, выстрел, разрыв снаряда и т.д. В этих случаях изменение импульса каждого тела системы, в основном, определяется внутренними силами системы

(1.34)