Релятивистский закон сложения скоростей

 

Пусть вдоль совпадающих осей Ох и О ^' х ^' систем отсчета К и К ^' в их положительном направлении с постоянной скоростью движется тело. Проекции вектора скорости на координатные оси в СО К и К ^' соответственно равны:

С.О. К ^':

С.О. К :

Необходимо найти формулы связи между и ; в данном случае между и . Для этого в преобразованиях Лоренца (1.90) возьмем бесконечно малые (элементарные) приращения координат и времени

 

Итак,

(1.94)

Аналогично можно получить обратную формулу связи

(1.95)

Формулы (1.94) и (1.95) представляют собой закон сложения скоростей в релятивистской механике. При малых скоростях движения тел (u<<c), эти формулы переходят в закон сложения скоростей классической механики (1.89)

Из закона сложения скоростей (1.94) и (1.95) следует, как это и должно быть согласно второму постулату С.Т.О., скорость движения тел не может быть больше скорости света в вакууме (u<<c). Приведем в подтверждение этому факту два примера:

Пример 1. Пусть световой сигнал в С.О. К ^' распространяется вдоль оси О'x', т.е. .Тогда согласно формуле (1.95) запишем

,

что и должно было получиться.

Пример 2. Пусть ядро, двигаясь со скоростью 0,5с относительно ускорителя, испускает в направлении своего движения электрон, который относительно ядра движется со скоростью 0,8с. Найдем скорость электрона относительно ускорителя.

Для того, чтобы использовать закон сложения скоростей (1.95) свяжем систему отсчета K ^' с ядром, а систему отсчета К с ускорителем и направим оси Ох и О'х' вдоль направления движения ядра и электрона. Тогда u = 0,5c, u'_x= 0,8c , а скорость электрона относительно ускорителя найдем следующим образом:

т.е. получаем, что .

Для произвольного направления движения тел формулы (1.94) и (1.95) усложняются, но всегда скорость тела во всех ИСО не будет превышать скорости света в вакууме.