Гироскопы

1.3.5.^* Гироскопы

Под гироскопом понимают быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого (ось симметрии) может произвольно изменять свое положение в пространстве. Например, гироскопами являются детский волчок и массивный диск, закрепленный так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг трех взаимно перпендикулярных осей АА₁, ВВ₁ и СС₁ (рис.1.21.а).

 

Рис.1.21

 

Применяемые в технике гироскопы обычно являются уравновешенными, т.е. их центры тяжести совпадают с центром подвеса (точка О) и поэтому моменты сил тяжести, действующих на них относительно любой оси вращения, равны нулю. В этом случае гироскоп можно рассматривать как замкнутую систему, для которой выполняется закон сохранения момента импульса.

Если раскрутить диск вокруг оси АА₁ с большой угловой скоростью w, то возникающий при этом момент импульса , направленный вдоль оси вращения АА₁ (рис.1.21б) будет сохранять свое положение в пространстве и соответственно сохраняет свое направление и ось вращения. Так, например, при повороте подставки, на которой укреплен гироскоп, в ту или иную сторону, положение оси АА₁, останется неизменным, из-за того, что момент внешних сил относительно осей вращения будет равен нулю.

Оказывается, что направление оси АА₁ практически не изменится и при кратковременных внешних воздействиях, при которых момент внешних сил относительно какой-либо оси будет отличным от нуля. Пусть на гироскоп в течение малого промежутка времени t будет действовать сила тяжести , приложенная на расстоянии r от точки О (рис.1.21б). Она создаст момент силы , направленный вдоль оси ВВ₁ и согласно уравнению (1.48) приведет к приращению вектора момента импульса. Вследствие этого ось вращения изменит свое положение в пространстве и установится вдоль нового направления вектора . Из-за малого времени действия внешней силы и большого модуля вектора направление оси АА₁ в пространстве практически не изменится.

Этот факт сохранения первоначального направления оси вращения гироскопа при любых его перемещениях и случайных кратковременных воздействиях используется в различных навигационных приборах, в которых фиксируется определенное направление оси вращения в пространстве (вертикальное направление, направление на северный географический полюс земли и т.д.), относительно которого затем и определяется направление движения объекта и, по мере необходимости, корректируется его курс и местоположение.

Если внешняя сила будет действовать постоянно, то тогда поворот оси АА₁ будет происходить вслед за поворотом вектора и гироскоп будет вращаться вокруг оси СС₁ с угловой скоростью w_n, говорят, он будет совершать прецессию.

Кажущаяся на первый взгляд возможность поворота гироскопа вокруг оси ВВ₁ под действием силы опровергается основным уравнением динамики вращательного движения (1.48).

Оценим угловую скорость w_n прецессии. Так, из рисунка 1.21б. при малом значении угла a можно записать:

, (1.58)

где I –момент инерции гироскопа; w – угловая скорость его вращения вокруг оси АА₁.

При винтовой нарезке ствола ружья или орудия такое движение (прецессию) совершает пуля или снаряд вокруг оси вращения, направленной в каждый момент времени по скорости их движения, т.е. по касательной к траектории. Это увеличивает дальность и устойчивость полета пули и снаряда, способствует попаданию их в цель лобовой частью, увеличивает точность попадания ввиду отсутствия кувыркания пули и снаряда при их полете.

 

Условия равновесия а.т.т. Таблица аналогий между линейными и

угловыми характеристиками при поступательном и вращательном
движениях

Из рассмотренных выше поступательного и вращательного движений а.т.т. можно сделать вывод о том, что оно будет находиться относительно ИСО в равновесии, т.е. либо покоитъся, либо двигаться равномерно и прямолинейно в соответствии с движением его центра масс, и одновременно вращаться с постоянной угловой скоростью вокруг оси, проходящей через него, при выполнении следующих равенств

. (1.59)

 

Итак, а.т.т. находится в состоянии равновесия, когда векторная сумма внешних сил, действующих на тело, равна нулю и векторная сумма моментов этих сил относительно оси вращения тоже равна нулю.

В заключение этого раздела приведем таблицу аналогий между характеристиками вращательного и поступательного движений тела. Она позволяет на основе известных формул поступательного движения достаточно легко записывать формулы для вращательного движения, видеть взаимосвязь между этими видами движения и способствует более успешному усвоению материала.

 

Таблица 1

 

Прямолинейное движение	Вращательное движение	Формулы связи между модулями линейных и угловых характеристик
Путь l	Угловой путь φ	l=φr, r-радиус окружности
Элементарное перемещение	Элементарное угловое перемещение	dr=rdφ
Линейная скорость	Угловая скорость	u=wr
Тангенциальное ускорение	Угловое ускорение	at=e r
Масса тела m	Момент инерции I
Сила	Момент силы
Импульс	Момент импульса тела	L=rp
–	Нормальное ускорение	an=u2/r

 

В качестве примера использования таблицы аналогий запишем ряд формул:

 

Механическая энергия и работа

Понятия энергии и работы можно рассматривать с различных точек зрения, выявляя при этом существенные аспекты их взаимосвязи с различными физическими… Все, что нас окружает, называют материей. Она существует в непрерывном… Из неуничтожимости движения следует тот факт, что суммарная энергия всех форм движения материи в замкнутой системе не…

Работа силы. Кинетическая энергия тела. Теорема о кинетической энергии.

Под элементарной работой dА, совершаемой силой на элементарном перемещении , называют величину, равную скалярному произведению на , (1.60) где угол a - угол между векторами силы и перемещением (рис.1.22а)

Кинетическая энергия вращающегося а.т.т.

Возьмем а.т.т., вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис.1.16б). Представим тело в виде совокупности м.т. массы dm, тогда для…  

Работа внешних сил по вращению а.т.т.

Запишем формулу для элементарной работы силы по вращению тела вокруг неподвижной оси вращения (рис. 1.15, формула 1.45): (1.68) где угол a=0, 180 0 в зависимости от направления векторов и (α=0:… Работа внешних сил по изменению угловой скорости от w1 до w2 на конечном угловом перемещении определится так:

Потенциальная энергия взаимодействующих тел. Терема о потенцальной энергии.

Под потенциальной энергией Wp взаимодействующих тел или частей одного тела понимают СФВ, характеризующую их способность совершать работу за счет… При наличии только консервативных сил потенциальную энергию взаимодействия… (1.70)

Механическая энергия системы тел. Закон сохранения

Механической энергии.

Полной механической энергией Wм системы тел называют сумму кинетической энергии тел и потенциальной энергии их взаимодействия:   (1.79)

Потенциальные кривые

В качестве примера на рис.1.26 приведена потенциальная кривая взаимодействия двух частиц (молекул) в зависимости от расстояния  

Применение законов сохранения импульса и механической

Энергии к анализу абсолютно упругого и неупругого столкновений

1.Абсолютно неупругий удар – это удар, в результате которого тела после соударения движутся вместе как единое целое. Пусть движущееся со скоростью…    

Рассмотрим ряд важных для практики частных случаев использования формул (1.87)

В ядерных реакторах необходимо проводить эффективное уменьшение скорости нейтронов, возникающих при реакциях деления, от скоростей порядка… Пример 2.Тело массы m1, движущееся со скоростью , упруго ударяется о… Если же стенка (поршень) будет двигаться вдоль оси ох cо скоростью , то как следует из формул (1.87), в результате…

Специальная теория относительности

Специальная теория относительности (С.Т.О.) изучает свойства пространства и времени как двух форм существования материи в инерциальных системах… Рис. 1.29

Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея.

В классической механике считается, что предельная скорость передачи взаимодействий в природе является бесконечно большой () и поэтому из этого… Дополнительные свойства пространства и времени, возникающие в классической… Пусть в точке М (рис.1.29) происходит какое-либо событие, координаты и время которого в С.О. К – (x, y, z, t), а в…

Постулаты С.Т.О. Опытное обоснование постулатов.

  Специальная теория относительности была создана А. Эйнштейном в 1905 г. В ее… До начала ХХ века считалось, что все физические явления можно свести к механическим явлениям и поэтому принцип…

Преобразования Лоренца. Дополнительные свойства пространства

И времени в С.Т.О.

Общие свойства пространства и времени остаются и в С.Т.О., поэтому преобразования Лоренца как и преобразования Галилея, будут линейными по… Переход из K' в К :Переход из К в К ': (1.90) Коэффициент a можно найти следующим образом: в начальный момент времени t=0 из начала координат систем отсчёта К и К'…

Кинематика С.Т.О.

1.5.4.1. Понятие «одновременность» двух событий Пусть в С.О. К' происходят одновременно () два события в разных точках… Для ответа на этот вопрос используем преобразования Лоренца и распишем (t2-t1):

Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть вдоль совпадающих осей Ох и О ' х ' систем отсчета К и К ' в их положительном направлении с постоянной скоростью движется тело. Проекции… С.О. К ': С.О. К :

Динамика С.Т.О.

 

Релятивистский импульс и масса тела

Оказывается, что второй закон Ньютона в виде (1.29) не является релятивистски инвариантным, т.е. он не удовлетворяет первому постулату С.Т.О., не… В СТО импульс тела, движущегося в С.О. К со скоростью , запишется следующим… (1.96)

Кинетическая энергия тела в С.Т.О.

(1.101) Перепишем полученную формулу в другом виде. Для этого преобразуем выражение…

Закон взаимосвязи массы и энергии тела

  Перепишем формулу (1.103) в следующем виде

Роль специальной теории относительности в современной естественно научной картине мира

Но это не означает, что все в природе относительно: С.Т.О. предложила вместо старого новый набор инвариантных, абсолютных величин, таких как: 1)… Последние (8 и 9) инварианты С.Т.О. связаны с модулями четырехмерного… Конечно, в повседневной жизни скорости движения различных тел существенно меньше скорости света в вакууме и поэтому, в…

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Некоторые дополнительные сведения и формулы,

Используемые при изложении курса физики.

Для определения производной функции y по аргументу x при каком-либо значении x = х0 необходимо взять конечные приращения аргумента x (Δx = x1 - x2) и функции у (Δу = у1 - у2) и затем устремить Δx… (1)

Математическое описание векторных полей.

Для описания векторного поля вводят понятие линий вектора - они проводятся так, чтобы в каждой точке линии вектор был направлен по касательной к ним… В общем случае векторное поле является неоднородным – направление и модуль изменяются. Для однородного поля в каждой…

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Международная система единиц (СИ).

 

Как известно, физика является экспериментальной наукой. Любая вводимая в ней величина наполняется конкретным содержанием тогда, когда указан способ ее измерения. Измерить физическую величину – значит сопоставить ее с другой однородной ей величиной, принятой за единицу измерения. В связи с чем важным в физике является указание единиц измерения различных величин и способов их экспериментального определения.

Развитие физики как науки приводит к определенной взаимосвязи физических величин, описывающих разные явления. Можно подобрать, построить такую последовательность физических формул, в которой в каждую новую формулу входит только одна новая величина. Подобранная таким образом последовательность формул приводит к конкретной системе единиц измерения физических величин. В ней выделяют основные физические величины, единицы измерения которых выбирают произвольно с помощью соответствующих договоренностей, на основе различных эталонов или специальных опытов, обладающих наибольшей точностью измерений при данном развитии науки и техники. Остальные величины называют производными величинами, для них единицы измерения получают из формул – определений этих величин, формул, в которые помимо данной величины входят другие с уже известными единицами измерения.

В настоящее время широкое распространение получила международная система единиц (СИ), в которой имеются семь основных единиц измерения: длины (метр), времени (секунда), массы (килограмм), количества вещества (моль), температуры (кельвин), силы тока (ампер) и силы света (кандела). В курсе общей физики эта система единиц является основной, хотя в научных статьях применяются и другие системы единиц, например СГС (секунда, грамм, сантиметр).

Рассмотрим подробнее международную систему единиц (СИ). Приведем сначала определение основных единиц измерения этой системы:

1. длина, l: метр (м) – длина, равная 1650763,73 длины волны в вакууме излучения, соответствующего переходу между уровнями 2p₁₀ и 5d₅ атома криптона – 86.

2. масса, m: килограмм (кг) – масса международного прототипа, сделанного из платино-иридиевого сплава в виде цилиндрической гири (хранится в Севре, близ Парижа)

3. время, t: секунда (с) – время, равное 9192631770 периодом излучения, соответствующего энергетическому переходу между двумя уровнями сверхтонкой структуры основного состояния атома цезия – 133.

4. термодинамическая температура, T: кельвин (К) – это термодинамическая температура, равная 1/273,16 части термодинамической температуры тройной точки воды.

5. количество вещества, μ (ν): моль(моль) – количество вещества, содержащее столько молекул, сколько атомов содержится в 0,012 кг в углероде -12

6. Сила тока, I: ампер(A) – равен силе не изменяющегося тока который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводника бесконечной длины и ничтожно малой площади сечения, расположенным в вакууме на расстояние 1м один от другого, вызвал бы на участке проводника длиной 1м силу взаимодействия, равную 2·10^-7н.

7. сила света, J: кандела (кд) – сила света, испускаемого с площади 1/600000 м² сечения полного излучателя в перпендикулярном к этому сечению направлении при температуре излучателя, равной температуре затвердевания платины (2042 К), и давлении 101325 Па.

В качестве дополнительных единиц измерения в СИ используются единицы измерения плоского угла – радиан (1рад = 57⁰17’44.8’’) и телесного угла – стерадиан (1ср = 7,96·10^-2 полного телесного угла).

Ниже в таблице приводятся единицы измерения различных физических величин в международной системе единиц (СИ), их обозначения (русское и международное) и формулы, по которым можно экспериментально определить эти единицы измерения.

 

Наименование физ. величины	Формула- определения	Единицы измерения
наименование	Обозначение
русское	международное
М Е	Х А Н И	К А КИНЕМАТИКА
Длина, l,S	-	Метр	м m
Масса, m	-	Килограмм	кг kg
Время, t	-	Секунда	С s
Скорость,		Метр в секунду	м/с m/s
Ускорение,		Метр на секунду в квадрате	м/с2 m/s2
Период обращения, T	-	Секунда	с s
Частота обращения, n	n = 1/T	Секунда в минус первой степени	с-1 s-1
Угол поворота, φ	-	Радиан	рад rad
Угловаяскорость, ω		Радиан в секунду	рад/с rad/s
Угловое ускорение ε		Радиан на секунду в квадрате	рад/с2 rad/s2
МЕХАНИКА. ДИНАМИКА
Масса, m	-	килограмм	Кг kg
Плотность, ρ	ρ=m/V	Килограмм на кубический метр	кг/м3 kg/m3
Момент инерции, I	I=mr2	Килограмм-метр в квадрате	кг*м2 kg*m2
Импульс, р	p=mv	Килограмм-метр в секунду	кг*м/с kg*m/s
Момент импульса, L	L=Iω	Килограмм-метр в квадрате в секунду	кг*м2/с kg*m2/s
Сила, F	F=ma	ньютон	Н N
Момент силы, М	M=Fd	Ньютон-метр	Н*м N*m
Импульс силы, FΔt	FΔt	Ньютон-секунда	Н*с N*s
Работа, энергия А, W	A=Fsl	Джоуль	Дж J
Мощность, N	N=A/t	Ватт	Вт W

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие…………………………………………………………………………….3

Введение………………………………………………………………………………...4

Глава 1. МЕХАНИКА………………………………………………………………….7

1.1. Кинематика движения м.т. и а.т.т………….……………………………………8

1.1.1. Путь, перемещение, мгновенная скорость м.т. ……………………………. 8

1.1.2. Мгновенное ускорение м.т.. Касательное и нормальное ускорения м.т. ….9

1.1.3. Схема решения основной задачи кинематики. Формулы для радиус-вектора и вектора скорости . …………………………………………… 10

1.1.4. Кинематические характеристики вращательного движения м.т. и а.т.т. …13

1.1.5. Формулы взаимосвязи линейных ( ) и угловых ( ) характеристик при вращательном движении м.т. и а.т.т. ……………………………………… 15

1.2. Динамика движения м.т. и поступательного движения а.т.т. ………………...15

1.2.1. Сила, инертность тела, масса тела. …………………………………….….…16

1.2.2. Законы Ньютона. ……………………………………………………………...16

1.2.3. Закон сохранения импульса. ……………….…………………………………19

1.2.4. Центр масс системы. Центр масс и центр тяжести а.т.т. ..……………….…21

1.3. Динамика вращательного движения. ………………………………………..….23

1.3.1. Момент импульса м.т. и а.т.т. относительно оси вращения. …………….. 23

1.3.2. Момент силы относительно оси вращения. Основной закон динамики

вращательного движения. …………………………………………………...24

1.3.3. Момент инерции а.т.т. относительно оси вращения. …………………..… 26

1.3.4. Закон сохранения момента импульса. …………………………………….. 28

1.3.5.* Гироскопы. ………………………………………………………………..….31

1.3.6. Условия равновесия а.т.т.. Таблица аналогий между линейными и угловы-

ми характеристиками при поступательном и вращательном движениях….32

1.4. Механическая энергия и работа. ……………………………………...……… 34

1.4.1. Работа силы. Кинетическая энергия тела. Теорема о кинетической

энергии. ………………………………………………………………………. 34

1.4.2. Кинетическая энергия вращающегося а.т.т . ………………………………35

1.4.3. Работа внешних сил по вращению а.т.т. ……………………………………37

1.4.4. Потенциальная энергия взаимодействующих тел. Теорема о потенциаль-

ной энергии. ………………………………………………………………… 37

1.4.5. Формула связи потенциальной энергии и консервативной силы………..40

1.4.6. Механическая энергия системы тел. Закон сохранения механической

энергии. ………………………………………………………………………..41

1.4.7. Потенциальные кривые. ……………………………………………………...42

1.4.8. Применение законов сохранения импульса и механической энергии к

анализу абсолютно упругого и неупругого столкновений. ……………… 44

1.5. Специальная теория относительности. …………………………………… 47

1.5.2. Преобразования Галилея. Принцип относительности Галилея……………47

1.5.3. Постулаты С.Т.О. Опытное обоснование постулатов…………………… 49

1.5.4. Преобразования Лоренца. Дополнительные свойства пространства и

времени в С.Т.О.………………………………………………………………50

1.5.4. Кинематика С.Т.О……………………………………………………………..51

1.5.4.1. Понятие ‹‹одновременность» двух событий..…………………………...51

1.5.4.2. Понятие ‹‹длина» предмета.…………………………………………… 52

1.5.4.3. Понятие ‹‹промежуток времени» между двумя событиями……………52

1.5.4.4. Релятивистский закон сложения скоростей……………………………..53

1.5.5.Динамика С.Т.О……………………………………………………………... 55

1.5.5.1. Релятивистский импульс и масса тела……………………………………56

1.5.5.2. Кинетическая энергия тела в С.Т.О………………………………………56

1.5.5.3. Закон взаимосвязи массы и энергии тела………………………………...57

1.5.6. Роль С.Т.О. в современной естественнонаучной картине мира……………58

Приложение 1. Дополнительные сведения и формулы, используемые при изложении курса физики……………………………………………………………...60

Приложение 2. Международная система единиц (СИ)……………………………..68