1. Графический смысл производной от функции y(x) по аргументу x и интеграла от y(x) в пределах значений аргумента от x1 до x2.
Для определения производной функции y по аргументу x при каком-либо значении x = х0 необходимо взять конечные приращения аргумента x
(Δx = x1 - x2) и функции у (Δу = у1 - у2) и затем устремить Δx к нулю, т.е. взять бесконечно малые приращения dх и dу (их также называют элементарными приращениями). Тогда производная у ' будет равна
(1)
и графически у ' представляет собой тангенс угла наклона касательной к графику функции в данной точке (рис.1а)
Графически интеграл от функции у в пределах значений аргумента от х1 до х2 представляет собой площадь под графиком функции в пределах от х1 до х2 (рис. 1.б.). Для ее расчета разбивают интервал (х1, х2) на малые участки Δxi(i=1,…,N), определяют площади прямоугольных полосок (уiΔхi) и затем их суммируют..
Точное значение площади под графиком функции получают при стремлении N→ ∞, Δxi→ dx и бесконечная сумма бесконечно малых величин (ydx) обозначается в виде интеграла
(2)
Так, в частности, для прямолинейной зависимости у = bx интеграл будет равен площади трапеции (рис. 1.в.) и поэтому
Приведем необходимые для дальнейшего изложения материала ряд формул табличных интегралов
, (3)
, (4)
, (5)
, (6)
2. Скалярное произведение двух векторов и . Это скалярная величина, равная произведению модулей векторов и , умноженного на косинус угла α между ними
() = () = abcosα = baa ,
где в формулу введена проекция вектора на направление вектора
(ba = bcosα, рис. 2а.).
Скалярное произведение произвольного вектора на его вектор элементарного приращения d можно записать в следующем виде (рис. 2б.)
d=,
где dc – элементарное приращение модуля вектора , оно может принимать как положительные, отрицательные, так и нулевые значения. В частности, это относится к элементарным приращениям модулей радиус-вектора (dr), линейной скорости(dv), угловой скорости (dω), и т.д. Для вектора же элементарного углового перемещения по определению dφ всегда больше нуля.
3. Векторное произведение векторов и . Это вектор, равный по модулю произведению модулей векторов и на синус угла α между ними (рис. 2в.).
=[´] , с = ав cosα , α = (,)
Вектор перпендикулярен плоскости вектора и, его направление можно найти по трем эквивалентным правилам: 1) правило правого буравчика. – вращательное движение буравчика должно совпадать с направлением кратчайшего поворота от к , тогда его поступательное движение дает направление ; 2) правило левой руки: – четыре пальца нужно расположить по направлению вектора , вектор должен входить в ладонь, тогда отогнутый на 900 большой палец покажет направление ; 3) правило векторного произведения: если смотреть с конца вектора на плоскость векторов и , то тогда кратчайший поворот от к будет направлен против часовой стрелки.
4. Двойное векторное произведение векторов ,и раскрывается следующим образом
[[´]=()-() (7)
5. Градиент скалярной величины . Пусть в пространстве каким-либо образом распределена скалярная величина (существует поле скалярной величины а) – это может быть поле температуры (= T), плотности вещества (= ρ), потенциальной энергии (= Wр) и т.д. Такое поле можно охарактеризовать максимальным и минимальным значением , средним значением , а также градиентом . Под градиентом скалярной величины понимают вектор, который в каждой точке пространства направлен в сторону наиболее быстрого возрастания и численно равный приращению величины на единицу длины этого направления
, , (8)
где - направление gradв данной точке пространства; вектора , , - вектора единичной длины (||=||=||), указывающие направления осей Oх, Oу, и Oz в пространстве (рис. 3.). Они позволяют представить произвольный вектор
в виде суммы его проекции на оси (рис.3)
=++ (9)
При вычислении производной величины по координате x в формуле (8) считается, что координаты y и z остаются постоянными – такая производная называется частной производной по координате x
Аналогичные предположения принимаются при расчете частных производных по координатам y и z.
Выражение (8) можно записать в более компактном виде, если ввести оператор Гамильтона или оператор Набла
(10)
Действие этого оператора на скалярную величину приводит к выражению (8), т.е. grad=.