Кинетическая энергия вращающегося а.т.т.

 

Возьмем а.т.т., вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис.1.16б). Представим тело в виде совокупности м.т. массы dm, тогда для кинетической энергии тела можно записать:

 

Итак, кинетическая энергия а.т.т, вращающегося относительно неподвижной оси вращения определяется формулой:

(1.66)

Если тело одновременно участвует в поступательном (плоском) и вращательном движениях (например, движение цилиндра без скольжения по плоскости, рис. 1.23а), то его кинетическую энергию можно получить

Рис. 1.23.

 

как сумму кинетической энергии поступательного движения тела вместе с осью вращения, проходящей через его центр масс (точка О), со скоростью и вращательного движения тела относительно этой оси с угловой скоростью

(1.67)

Для сплошного (I₁=1/2mR²) и тонкостенного (I₂=mR²) цилиндров одинаковой массы m и радиуса R кинетические энергии запишутся таким образом:

Полученные формулы для кинетической энергии цилиндров позволяют объяснить опыт по различию времени их скатывания с наклонной плоскости высоты h и длины l (рис.1.23б). Так, согласно закону сохранения энергии (силой трения при движении цилиндров практически можно пренебречь) получим:

,

где – скорости сплошного и полого цилиндров у основания наклонной плоскости.

При скатывании цилиндров центр их масс движется равноускоренно без начальной скорости и поэтому согласно формуле (1.13) можно записать:

,

т.е. на скатывание полого цилиндра требуется большее время, чем для сплошного цилиндра.

Качественно это можно объяснить тем, что полый цилиндр является более инертным, чем сплошной (для него момент инерции относительно оси вращения больше), и поэтому он медленнее изменяет свою скорость и поэтому тратит больше времени на скатывание с наклонной плоскости.

Как видно из рис.1.23.а модули скоростей точек на поверхности цилиндра будут разными (u_В=0, , u_А=2u) в связи с тем, что эти точки участвуют одновременно в поступательном и вращательном движениях со скоростями и , причем для каждой точки направлена по касательной к поверхности цилиндра и равна по модулю u().

Отметим, что движение цилиндра можно рассматривать и как ряд последовательных вращении вокруг мгновенной оси, проходящей через точку С (рис.1.23а) с угловой скоростью w. Причем и в этом случае кинетическая энергия тела также определяется формулой (1.67).