Максвелловское распределение энергии по степеням свободы молекул газа. Внутренняя энергия идеального газа

В случае идеального газа число молекул в единице объема, имеющих значение компоненты скорости в интервале от v_x до v_x + dv_x может быть представлено в виде: .

Это выражение, деленное на общее число молекул n в единице объема, дает вероятность того, что молекула имеет компоненту скорости в интервале от v_x до v_x + dv_x .

Таким образом, функция является плотностью данной вероятности. Поскольку для газа в целом направление движения молекул можно считать случайным, то функция является гауссовой функцией распределения случайной величины и имеет следующий вид: где A и j некоторые постоянные.

Аналогично определяются вероятности для двух других компонент и скорости молекулы:

В силу равноправности всех направлений движения молекул вид функций , и должен быть одинаковым, эти функции отличаются лишь обозначением аргумента.

Максвелл предположил, что вероятность различных значений одной из компонент скорости, например v_x , не зависит от того, какова величина двух других компонент (в данном случае v_y и v_z ). Поэтому вероятность того, что компоненты скорости некоторой молекулы имеют значения, лежащие в интервале от v_x , v_y , v_z до v_x + dv_x , v_y + dv_y , v_z + dv_z равна произведению вероятностей , и :

Для определения распределения молекул по значениям модуля скорости v возьмем в воображаемом пространстве прямоугольные координатные оси, по которым будем откладывать значения v_x , v_y , v_z отдельных молекул (имеются в виду компоненты скорости по осям x, y и z, взятым в обычном пространстве). Такое воображаемое пространство будем называть v – пространством. Тогда скорости каждой молекулы будет соответствовать точка в этом пространстве. Из-за столкновений положение точек будут непрерывно меняться, но их плотность в каждом месте будет оставаться неизменной.

Вследствие равноправности всех направлений движения молекул расположение точек относительно начала координат будет сферически симметричным. Следовательно, плотность точек в v – пространстве может зависеть только от модуля скорости v .Тогда точки, изображающие скорости, величина которых заключена в интервале от v до v + dv , попадают в область, лежащую между сферами радиусов v и v + dv (рис. 2.2). Объем этой области равен . Следовательно, вероятность того, что молекула имеет скорость в интервале от v до v + dv , равна

где

– (2.2)

– плотность вероятности того, что молекула имеет скорость в интервале от v до v + dv.

Функция называется функцией распределения Максвелла молекул по скоростям.