1.Проиллюстрируем на примере некоторые важные свойства графика функции (рис. 4).
Рис. 4
Интервалы монотонности:
· функция возрастает при ;
· функция убывает при и .
Точки экстремума:
С – точка максимума (max); A – точка минимума (min).
Интервалы выпуклости:
· функция выпуклая при ;
· функция вогнутая при и при .
Точки В и D являются точками перегиба, так как в них происходит смена выпуклости на вогнутость или наоборот.
2. Правило исследования функции y = f(x) на монотонность и
точки экстремума.
а) Вычислить первую производную .
б) Найти критические точки, т.е. точки, в которых производная равна нулю или не существует.
в) Определить знак производной на интервалах между критическими
точками в области определения функции.
г) Сделать выводы о промежутках монотонности функции согласно
признакам монотонности:
если на (a;b), то функция убывает при ,
если на (a;b), то функция возрастает при .
д) Сделать выводы о наличии точек экстремума согласно признаку существования экстремума:
если при переходе слева направо через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус, то – точка максимума; если с минуса на плюс, то – точка минимума.
3. Правило исследования функции y = f(x) на выпуклость,
вогнутость и точки перегиба.
а) Вычислить вторую производную .
б) Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, эти точки называются подозрительными на перегиб.
в) Определить знак второй производной на интервалах между найденными точками в области определения функции.
г) Сделать выводы о промежутках выпуклости и вогнутости согласно признакам выпуклости и вогнутости:
если на (a;b), то график функции вогнутый при ,
если на (a;b), то график функции выпуклый при .
д) Сделать выводы о наличии точек перегиба согласно достаточному условию существования точек перегиба:
eсли при переходе через подозрительную на перегиб точку вторая производная меняет знак, то в этой точке имеется перегиб графика функции.
4. Четность и периодичность функции.
Функция y = f(x) называется четной, если для любых x из области определения функции справедливо равенство f(–x)= f(x), в этом случае график симметричен относительно оси Oy.
Для нечетной функции для любых x из области определения справедливо равенство f(–x)= – f(x), ее график симметричен относительно начала координат.
Функция y = f(x) называется периодической, если существует число такое, что для любых x из области определения функции справедливо f(x+T)= f(x).