Действия с приближенными числами - раздел Образование, ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Многие Считают, Чем Больше Цифр Содержит Вычисленная Или Изме...
Многие считают, чем больше цифр содержит вычисленная или измеренная величина, тем она точнее. Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:
1. когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 - четыре значащих цифры);
2. когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 - только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.
При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). Её обычно пишут меньшим размером. В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу.
Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.
Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил:
1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934 + 3,24 + 1,188 = 0,893 + 3,24 + 1,188 = 5,321 ≈ 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.
2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632´2,8´3,53. Вместо этого выражения следует вычислять 8,63´2,8´3,53 = 85,3 ≈ 85.
3. Результат расчета значений функций xn, 
, lg(x) некоторого приближенного числа x должен содержать столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x. Например:
.
Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить плотность вещества ρ, из которого изготовлен цилиндр. По определению
где m – масса тела, а V- его объём.
Объём цилиндра определяется формулой
.
Здесь D - диаметр цилиндра, H - его высота.
Следовательно, расчётная формула для плотности вещества будет иметь вид
(7)
Пусть D и H измерены штангенциркулем с ценой деления 0,1 мм, а масса определена на физических весах. В результате многократных измерений найдем средние значения <H> = 10,34 мм и <D> = 40,27 мм, а m = 35,9 г. При подстановке этих данных в формулу (7) получим 
кг/ м3. Если эту величину считать окончательным результатом, то запасная цифра 6 отбрасывается. Абсолютная погрешность измерения плотности в этом случае будет равна половине единицы последнего разряда, т.е. 5 кг/м3. Так обычно поступают при однократном измерении. В данном примере Н и D измерялись несколько раз, поэтому сначала надо вычислить относительную погрешность косвенного измерения плотности вещества по формуле
(8)
где DD и DH - абсолютные погрешности прямых измерений диаметра и высоты, а затем определить абсолютную погрешность плотности вещества из выражения ∆ρ = eρ. Пусть случайные абсолютные погрешности оказались равными: DDсл.= 0,01 мм; DHсл.= 0,23 мм, а ∆m = 0,05 г. Сравним вычисленные случайные погрешности с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. DDсл.<0,1, поэтому в формулу (8) подставим DD = 0,1 мм. А так как (DHсл./DHап.)<3, то DH вычисляем по формуле (3) и получаем 0,25 мм.
Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной погрешностью Δπ/π в формуле (8) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных погрешностей DD и DH видно, что наибольший вклад в относительную погрешность измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает eH = 0,0057. Если взять p = 3,1, то ep = 0,013, что превышает eH. Следовательно, значение p нужно взять 3,14. В этом случае Δπ/π » 0,00064 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002),что значительно меньше eH и относительную погрешность p можно не учитывать.
Вычисления относительной погрешности плотности по формуле (8) даёт значение e = 0,00769, а ∆ρ = 0,0077·2,72· 103 = 20,9 кг/м3. Так как в абсолютной погрешности принято оставлять одну значащую цифру, то конечный результат следует записать в виде:
ρ = (2,72 ± 0,02)103 кг/м3.
Необходимо сделать вывод по ответу. Полученное экспериментально значение величины плотности вещества равное 2,72·103 кг/м3 с точностью до ошибки измерений составляющей ± 0,02·103 кг/м3 совпадает с табличным (теоретическим) значением плотности алюминия равное 2,71·103 кг/м3. Текст, выделенный курсивом, является шаблоном вывода по ответу в любой лабораторной работе.
Примечания:
1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).
2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка (разряда) последней значащей цифры. Например, если m = 2,47 г, тогда Δm = 0,5·0,01 = 0,005 г.
Все темы данного раздела:
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Выполнение лабораторных работ является обязательной составной частью при изучении дисциплины “Физика”. Настоящая работа по разделу “Механика” составлена в соответствии с программой
ТРЕБОВАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
На каждое лабораторное занятие студент должен приносить с собой:
тонкую тетрадь, физический практикум, в котором дано описание выполняемой лабораторной работы, калькулятор, ручку, карандаш
ФОРМА ОТЧЕТА
Отчет каждой работы следует готовить в отдельной тонкой тетради (можно с двумя листами в зависимости от объема работы). Первый лист оформляется как титульный:
Погрешности измерений физических величин
Под измерением понимается сравнение измеряемой величины с другой величиной, принятой за единицу измерения. Измерения разделяют на прямые и косвенные.
При прямых измерениях
Обработка результатов прямых измерений
Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше апп
Обработка результатов косвенных измерений
Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x1, x2, ..., xn некоторой функциональной зависимостью
Построение графиков
Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необ
Измерительные приборы и учет их погрешностей
Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, ч
Краткие теоретические сведения
Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта к опыту нерегулярно и, на первый взгляд, беспорядочно. Результат каждого отдельного измерения случайной величины практически непредсказуем. Одна
Измерения и обработка результатов
В данной работе моделирование случайной величины осуществляется следующим образом. При помощи обычных часов с секундной стрелкой задают некоторый промежуток времени t и измер
Описание установки и метода измерений
Соотношения (2) и (3) являются следствиями второго закона Ньютон
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с машиной Атвуда.
2. Скомпенсировать силу трения в блоке, добавляя к правому грузу, движущемуся вниз, небольшой грузик (кусочек пластилина или проволоки). П
Порядок выполнения работы
1. Ознакомиться с машиной Атвуда.
2. Скомпенсировать силу трения в блоке (согласно п. 1 в задании 1).
3. На правый груз поместить перегрузок известной массы m
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 1.1–1.4, 2.1–2.4.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 20
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ СИЛЫ УДАРА И КОЭФФИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПРИ СОУДАРЕНИИ ШАРА С ПЛОСКОЙ СТЕНКОЙ
Цель работы:измерение времени соударения металлических тел, определение средней силы удара и коэффициента восстановления скорости.
Оборудование:
Описание установки и метода измерений
Металлический шар 1 подвешен на тонкой проволоке (рис. 1). При в
Порядок выполнения работы
1. Включить в электросеть электронный секундомер. Прогреть прибор в течение одной минуты.
2. Отвести шар от положения равновесия на угол α = 20о – 30о
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 2.1–2.5, 3.1–3.4, 5.1.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 5–7
Описание установки и метода измерений
Основание 1 оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют провести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, на которой зафиксированы нижний кронштейн 4 и
Проверить закон сохранения импульса
В изолированной системе тел векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему (импульс системы), не изменяется с течением времени:
Определить среднюю силу удара
Изменение импульса тела равно импульсу средней силы, действующей на тело
Порядок выполнения работы
1. Провести корректировку осевой установки шаров. Для этого шар, который расположен выше, повернуть так, чтобы риски на шарах находились на одном уровне.
2. Установить элек
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 2.4–2.5, 5.1, 5.6.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2
Описание установки и метода измерений
Баллистический маятник представляет собой цилиндр массой M
Порядок выполнения работы
1. Масса пули и маятника указаны на установке.
2. Измерить линейкой расстояние l от точки подвеса до точки крепления нити к маятнику.
3. Привести маятник в
КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Так как скорость пули в этой работе мала, и сопротивлением воздуха можно пренебречь, то ее можно определить кинематическим методом.
Порядок выполнения работы
1. Произвести 5 выстрелов из пистолета, расположенного на столе, в ящик с песком или лист бумаги, расположенный на полу. После каждого выстрела по отметке пули на песке, или на листе, измерить даль
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 1.1–1.3, 3.2–3.4, 5.1.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академи
Описание установки и метода измерений
Маховик состоит из массивного диска и шкива, насаженных на вал.
Порядок выполнения работы
1. Отрегулировать длину нити так, чтобы груз не касался основания штатива.
2. Измерить штангенциркулем диаметр шкива, определить массу груза m. Результаты записать в
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 3.2, 3.3, 4.1, 4.2.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия,
Описание установки и метода измерений
Рис. 1
Устройство установки показано
Порядок выполнения работы
1. На диске маятника укрепить произвольно выбранное кольцо.
2. Произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы его ось была параллельна основанию
Библиографический список
1.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 16–18.
2. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – §
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА СИЛЫ ТРЕНИЯ
Цель работы: построить для маховика график зависимости углового ускорения b от момента силы натяжения Мн и определить из него момент силы трения
Описание установки и метода измерений
Маховик состоит из диска 1 и шкива 2, насаженных на вал (рис. 1)
Порядок выполнения работы
1. Измерить штангенциркулем диаметр D шкива.
2. Вращая маховик, поднять висящий на нити груз на высоту h. Измерить высоту с помощью линейки (отсчет вести по н
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.1–4.3.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 6
Описание установки и метода измерений
Маятник Обербека (рис. 1) представляет собой маховик, которому п
Порядок выполнения работы
1. Определить массу грузов m1 и m2 (m1 взять примерно вдвое больше m2). Определить высоту h, с которой
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.1–4.3.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 6, 16, 18.
Описание установки и метода измерений
Твердое тело, подвешенное на упругой нити, будет совершать крутильные колебания, если его повернуть на некоторый угол относительно вертикальной оси, совпадающей с нитью подвеса, и з
Порядок выполнения работы.
1. Поворотом нижнего диска привести систему в колебательное движение. Следите за тем, чтобы центр масс диска не смещался в сторону, т.е. перемещался вертикально. Амплитуда колебаний
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.3.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 16–17, 140–141.
Описание установки и метода измерения
Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических колебаний физического маятника
&nb
Порядок выполнения работы
1. Опорную призму укрепить на конце стержня. Поместить маятник ребром опорной призмы на подставку и привести в колебательное движение так, чтобы амплитуда колебаний не превышала ~ 6
Библиографический список.
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 4.3, 27.1–27.2.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004
Краткая теория
Под влиянием внешних сил всякое твердое тело деформируется, т.е. изменяет свою форму и размеры. Упругой называется деформация, исчезающая с прекращением действия силы. Так, упруго р
Продифференцировав дважды функцию (2) по времени, получим
а = - w 2 Acos (wt + a) = - w 2x. (4)
После подстановки (4) в (3) находим
w =
Проверка закона Гука
1. К нижнему концу пружины подвешивать разные грузы массы mi и по линейке отмечать вызванные ими удлинения хi. Измерения выполнить для пяти разли
Определение коэффициента упругости
1. По графику зависимости mg = f(x) определить коэффициент упругости k, используя формулу k = Δ(mg)/Δx.
2. Вывести груз из положения равновес
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 27.1–27.2.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – §
Теоретические сведения
Большинство косвенных методов измерения ускорения свободного падения g основано на использовании формулы для периода гармонических ко-
лебаний физического маятника
Описание установки и метода измерений
В основании 1 (рис. 1) закреплена колонка 2, на ней зафиксирован верхний кронштейн 3 и нижний кронштейн 4 с фотоэлектрическим датчиком 5. Нижний кронштейн можно переме
Порядок выполнения работы
1. Закрепить один груз вблизи конца, а другой - вблизи середины стержня.
2. Закрепить призмы так, чтобы они были обращены друг к другу. Одну из них поместить вблизи свободн
Библиографический список
1.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 16, 140–142.
2. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005
Описание установки
Для возбуждения колебаний струны в работе используется метод резонанса. Струна приводится в движение силой, действующей на проводник с током в магнитном поле. Постоянное магнитное п
Порядок выполнения работы
1. Подключить установку к сети 220 В. Нажать кнопку "СЕТЬ".
2. Дать электронному блоку в течение 1-2 минут войти в режим.
3. Установить натяжение струны
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 29.1, 29.5, 29.6.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 140, 141
Описание установки
Общий вид установки показан на рис. 2. На конце металлической трубы 1 жестко закреплен микрофон 2. Вдоль трубы при помощи стержня 3 мо-
жет свободно перемещаться электродинамический громко
Порядок выполнения работы
1. Подключить динамик к генератору электрических колебаний звуковой частоты, а микрофон - к осциллографу. Включить генератор и осциллограф в сеть. Частоту генератора задавать пример
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 29.1–29.3, 29.6.
2.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 157.
Описание установки
На передней панели прибора (рис. 3) имеются три клавиши: 1 (сеть) - выключатель сети; 2 (пуск) - запуск счетчика колебаний и секундомера; 3 (стоп) - остановка счетчика колебаний и секундомера.
Порядок выполнения работы
1. Включить установку в сеть и проверить работу регистрирующих систем: электронного секундомера и счетчика числа колебаний.
2. Задать начальную амплитуду A0
Библиографический список
1.Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 146.
2. Савельев, И. В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1 / И. В. Савельев.– СПб.: Лань, 2005. – § 49
Краткие теоретические сведения.
Теплоемкостью вещества называют количество тепла, которое необходимо сообщить телу, чтобы повысить его температуру на один кельвин.
Теплоемкость единицы массы вещества назы
Описание установки и метода Клемана и Дезорма.
Установка состоит из стеклянного баллона Б, поршневого насоса Н, во
Библиографический список
1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 2 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 5.1 § 5.2–5.4 Гл. 5.2 § 5.17–5.19.
2. Савельев, И.В. Курс общей физики в 3-х т. Т.1
Библиографический список
1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 3.5 § 3.15, 3.18. Т.2 Гл. 5.1 § 5.2–5.4 Гл. 5.2 § 5.17–5.19
2. Детлаф, А. А. Курс фи
Краткие теоретические сведения
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории позволяет вычислить скорость теплового движения молекул газа; например, для молекул воздуха при комнатной температуре она равна 50
Описание установки.
Установка для определения коэффициента вязкости воздуха состоит и
Порядок выполнения работы
1. Взвесить сухой сосуд.
2. Открыть кран К сосуда А и следить за показаниями манометра, регулируя краном скорость вытекания воды, добиться такого режима его в
Библиографический список
1. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яворский. – М.: Высш. шк., 1999. – § 10.6–10.9.
2. Трофимова, Т. И. Курс физики / Трофимова Т.И. – М.: Академия, 2004. – § 46, 48.
Краткие теоретические сведения
В жидкостях и газах при перемещении одних слоев относительно других возникают силы внутреннего трения, или вязкости, которые определяются законом Ньютона:
Порядок выполнения работы
Задание 1. Определить коэффициент динамической вязкости глицерина при комнатной температуре.
1. Измерить штангенциркулем диаметр шарика в различных местах.
2. Опу
Библиографический список
1. Курс физики: Учебник для вузов: в 2-х т. Т. 1 / Под ред. В. Н. Лозовского. – СПб.: Лань, 2006. – Гл. 5.1 § 5.6–5.7.
2. Детлаф, А. А. Курс физики / А. А. Детлаф, Б. М. Яв
Краткие теоретические сведения
Явление теплопроводности представляет собой процесс переноса тепла, обусловленный беспорядочным (тепловым) движением молекул. Это явление возникает всегда, когда есть разность температур между отде
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ ПО МЕТОДУ МАКСИМАЛЬНОГО ДАВЛЕНИЯ В ПУЗЫРЬКЕ
Цель работы: измерить коэффициент поверхностного натяжения исследуемой жидкости при комнатной температуре.
Оборудование: аспиратор,
Руководство по расчету случайной погрешности
Случайная погрешность влияет на окончательный результат измерений, т. е. в равной степени завышает либо занижает его. Поэтому необходимо указать интервал [<x> - Δx, <x
Работа с калькулятором
Переведем калькулятор в режим статистических расчетов. Введите данные результатов измерений: набрав число x1, нажмите клавишу
Новости и инфо для студентов