Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения.

Атомы могут находиться лишь в квантовых состояниях с дискретными значениями энергии E₁, E₂…E_N. Рассмотрим только два состояния с энергиями E₁ и E₂ (, по вертикали отложена энергия) (рис. 6.1).

Если атом находится в основном состоянии 1, то под действием внешнего излучения может осуществляться вынужденный переход в возбуждённое состояние 2, приводящий к поглощению излучения. Вероятность подобных переходов пропорциональна плотности излучения, вызывающего эти периоды.

Атом, находящийся в возбуждённом состоянии 2, может через некоторый промежуток времени спонтанно, без каких-либо внешних воздействий, перейти в состояние с низшей энергией (в основное), отдавая избыточную энергию в виде электромагнитного излучения (испуская фотон с энергией ). Процесс испускания фотона возбуждённым атомом без каких-либо внешних воздействий называется спонтанным излучением. Т. к. спонтанные переходы взаимно не связаны, то спонтанное излучение некогерентно.

Если на атом, находящийся в возбуждённом состоянии, действует внешнее излучение с частотой, удовлетворяющей условно , то возникает вынужденный (индуцированный) переход в основное состояние 1 с излучением фотона той же энергии . При подобном переходе происходит излучение атомом фотона дополнительно к тому фотону, под действием которого произошёл переход.

2. Принципы спонтанного равновесия

В статистической физике известен принцип детального равновесия, согласно которому при термодинамическом равновесии каждому процессу можно сопоставить обратный процесс, причем скорость их протекания одинакова.

Эйнштейн и Дирак показали, что вынужденное излучение (вторичные фотоны) тождественно вынуждающему излучению: оно имеет такую же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, как и вынуждающее излучение. Следовательно, вынужденное излучение строго когерентно. Испущенные фотоны, двигаясь в одном направлении и встречая другие возбуждённые атомы, стимулируют дальнейшие индуцированные переходы и число фотонов растёт лавинообразно.

Однако, наряду с вынужденным излучением возможен и обратный процесс – поглощение. Поэтому для усилия падающего излучения необходимо, чтобы число актов вынужденного излучения превышало число актов поглощения фотонов. В системе атомов, находящихся в термодинамическом равновесии, поглощение падающего излучения будет преобладать над вынужденным, т. е. падающее излучение при прохождении через вещество будет ослабляться. Чтобы среда усиливала падающее на неё излучение, необходимо создать неравновесное (инверсное) состояние системы, при котором число атомов в возбуждённых состояниях было бы больше, чем их число в основном состоянии.

Такие состояния называются состоянием инверсной населённости. Процесс создания инверсной населённости называется накачкой. Накачку можно осуществлять оптическим, электрическим, электрическим и другими способами.

В средах в инверсном состоянии вынужденное излучение может превысить поглощение, вследствие чего падающий пучок света при прохождении через эти среды будет усиливаться (эти среды называются активными). В данном случае явление протекает так, как если бы в законе Бугера , коэффициент поглощения , зависящий в свою очередь от интенсивности излучения, стал отрицательным. Активные среды поэтому можно рассматривать в качестве сред с отрицательным коэффициентом поглощения. Открытое В. А. Фабрикантом, Н. Вудынским усиление света за счёт вынужденного излучения легло в основу квантовой электроники.

3. Принципы излучения действия лазера и особенности генерируемого им

Идея качественно нового принципа усиления и генерации электромагнитных волн, применяемого в мазерах (сантиметровый диапазон волн) и лазерах (видимая, инфракрасная и ближняя ультрафиолетовая области длин волн), принадлежит Н. Г. Басову, А. М. Прохорову и американскому физику Ч. Таунсу, удостоенных нобелевской премии в 1964 г.

Существуют лазеры: твёрдотельные, газовые, полупроводниковые и жидкостные – в зависимости от типа активной среды. По методу накачки: оптические, тепловые, химические, электро-ионизационные и другие. По типу генерации: непрерывные и импульсные.

Лазер обязательно имеет три основных компонента:

1) активную среду, в которой создаётся состояние с инверсной населённостью;

2) систему накачки (устройство для создания инверсии в активной среде);

3) оптический резонатор (устройство, выделяющее в пространство избирательное направление пучка фотонов и формирующее выходящий световой поток).

Первым твёрдотельным лазером (1960 г. США), работающим в видимой области 0,694 мкм, был рубиновый лазер (т. Мейман). В нём инверсная населённость уровней осуществлялась по 3 - уровневой схеме, предложенной Басовым и Прохоровым. Кристалл рубина представлял собой оксид алюминия, в кристаллической решётке которого некоторые из атомов заменены трёхвалентными ионами (0,03 0,05% ионов хрома для розового и красного рубина). Для оптической накачки использовалась импульсная газоразрядная лампа.

При облучении рубина импульсной лампой атомы хрома переходят с нижнего уровня 1 на уровень 3 широкой полосы (рис.6.4). Т. к. время жизни на уровне 3 составляет 10^-7 с, то осуществляется либо спонтанные переходы 3-1 (они незначительны), либо наиболее вероятные безизлучательные на уровень 2 (они называются нестабильными) с передачей энергии решётке кристалла. Переход 2-1 запрещён правилом отбора, поэтому длительность пребывания на уровне 2 возбуждённых атомов порядка 10^-3 с. Это на 4 порядка больше, чем на уровне 3, что приводит к накоплению атомов хрома на уровне 2. При достаточной мощности накачки их концентрация на уровне 2 будет гораздо больше, чем на уровне 1, что приведёт к инверсной населённости.

Каждый фотон может инициировать в активной среде множество вынужденных переходов 2-1, в результате чего появляется целая лавина вторичных фотонов, являющихся копией первичных. Таким образом, зарождается лазерная генерация.

Для выделения направления лазерной генерации используется оптический резонатор. Им служит пара обращённых друг к другу параллельных или вогнутых зеркал на общей оптической оси, между которыми помещается активная среда. Зеркала изготавливаются так, что от одного из них излучение полностью отражается, а второе полупрозрачно.

Фотоны, движущиеся под углом к оси кристалла, выходят из активной среды через боковые поверхности, а те, которые движутся вдоль оси, многократно отразятся от противоположных торцов. Т. к. вторичные фотоны движутся так же как и первичные, то поток фотонов будет лавинообразно расти. Многократно усиленный поток выходит через полупрозрачное зеркало, создавая строго направленный световой пучок огромной яркости (рис. 6.5).

Первым газовым лазером импульсного действия (1961 г.) был лазер на смеси атомов неона и гелия (1:10). Газы обладают узкими линиями поглощения, поэтому использовать лампы накачки не выгодно, они излучают свет широкого диапазона. Поэтому в газовых лазерах инверсная заселенность уровней осуществляется электрическим разрядом, возбуждаемым в газах.

В гелий-неоновом лазере накачка происходит в два этапа: гелий служит носителем энергии возбуждения, а лазерное излучение даёт неон.

Электроны, образующиеся в разряде, при столкновениях возбуждают атомы гелия, которые переходят в возбуждённое состояние. При столкновении возбуждённых атомов гелия с атомами неона происходит возбуждение последних, и они переходят на один из верхних уровней неона, который расположен вблизи соответствующего уровня гелия (рис. 6.6). Переход атома неона с верхнего уровня 3 на один из уровней нестабильного состояния, а затем на уровень 1 приводит к лазерному излучению.

Лазерное излучение обладает следующими свойствами:

1. Временная и пространственная когерентность. Время когерентности составляет 10^-3 с, что соответствует длине когерентности 10⁵ м (), т. е. на семь порядков выше, чем для обычных источников.

2. Строгая монохроматичность:

.

3. Большая плотность потока энергии.

Если, например, рубиновый стержень при накачке получил W=20 Дж и высветился за 10^-3 с, то поток излучения Ф_е=. Фокусируя это излучение на площади 1мм², .

4. Очень малое угловое расхождение в пучке:

- на Луне даёт пятно диаметром 3 км (луч прожектора осветил бы поверхность диаметром 40000 км);

- КПД лазера колеблется в пределах от 0,01% (для гелий-неонового) до 75% (лазер на стекле с неодимом). Хотя у большинства КПД – 0,1–1%.

Литература

[1], глава V, § 42 ¸ 43.

[2], глава 29, § 232 ¸ 233.

[3], глава 36, § 368 ¸ 369.

глава 43, § 433 ¸ 434.

 

 

Лекция № 7

Элементы квантовой статистики

1. Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения.

2. Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

3. Вырожденный электронный газ в металлах.

4. Квантовая теория теплоемкости и электропроводности металлов.

5. Сверхпроводимость. Эффект Джозефсона.

1. Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения

Квантовая статистика – раздел статистической физики, исследующий системы, которые состоят из огромного числа частиц, подчиняющихся законам квантовой механики. Она основывается на принципе неразличимости тождественных частиц.

Пусть система состоит из N частиц. Рассмотрим многомерное пространство, определяемое заданием 6N переменных, т.е. тройкой координат x, y, z и тройкой соответствующих проекций импульса . Это 6N – мерное пространство называется фазовым пространством.

Разобьем фазовое пространство на малые элементарные ячейки объемом

.

Такой объем элементарной ячейки называется фазовым объемом и не может быть меньше, чем (в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга), т.е.

.

Пусть есть вероятность данного состояния системы, определяемая функцией распределения .

Она показывает вероятность того, что точка фазового пространства попадет в элемент фазового объема dx, dp, расположенного вблизи точки x; p. Иными словами, dW представляет собой вероятность того, что система находится в состоянии, в котором ее координаты и импульсы заключены в интервале x, x+dx и p, p+dp функция распределения есть ничто иное, как плотность вероятности определенного состояния системы, поэтому она должна быть нормирована на единицу:

,

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

Зная функцию распределения , можно определить среднее значение величин (например, величина , характеризующая рассматриваемую систему:

.

Если иметь дело не с координатами x и импульсами p, а с энергией, которая квантуется, то состояние системы будет характеризоваться дискретной функцией распределения.

Явное выражение для функции распределения в общем виде получил Гиббс (это распределение называется каноническим распределением Гиббса).

,

где А – постоянная, определяется из условия нормировки; n – совокупность всех квантовых чисел; k – постоянная Больцмана; Т – температура термодинамическая.

2. Статистика Бозе -Эйнштейна и Ферми-Дирака

Одним из важнейших объектов изучения квантовой статистики является идеальный газ. Это связано с тем, что большинство квантовых систем можно в хорошем приближении считать идеальным газом.

Состояние системы невзаимодействующих частиц задается с помощью так называемых чисел заполнения - чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния частицами системы, состоящих из многих тождественных частиц.

Для систем частиц, образованных бозонами – частиц с нулевым или целым спином, числа заполнения могут принимать любые целые значения 0, 1, 2,….

Для систем частиц, образованных фермионами – частицами с полуцелым спином, числа заполнения могут принимать значение: 0 – для свободных состояний и 1 – для занятых.

Сумма всех чисел заполнения должна быть равна числу частиц системы.

Квантовая статистика позволяет определить среднее значение чисел заполнения .

Идеальный газ из бозонов – бозе-газ – описывается квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна. Распределение бозонов вытекает из распределния Гиббса и выражается:

- это распределение называется Бозе-Эйнштейна.

- среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией ; m - химический потенциал, не зависит от энергии, а определяется только Т и плотностью числа частиц. Определяет изменение внутренней энергии системы, при добавлении к ней одной частицы при условии, что энтропия, объем – фиксированы.

. При V = const, dS = const,

где Т – термодинамическая температура.

Идеальный газ из фермионов – ферми-газ описывается квантовой статистикой Ферми-Дирака.

Распределение фермионов по энергии имеет вид:

- распределение Ферми-Дирака.

Если , то распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана:

,

где .

Таким образом, оба газа при высоких температурах ведут себя подобно классическому газу.

Система частиц называется вырожденной, если ее свойства существенным образом отличаются от свойств системы, подчиняющихся классической статистике.

Бозе-газ и ферми-газ являются вырожденными газами. Вырождение газов становится существенным при низких Т и больших плотностях. Параметром вырождения называется величина А. При A>>1 распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в распределение Максвелла-Больцмана.

Температурой вырождения Т₀ называется температура, ниже которой отчетливо проявляются квантовые свойства идеального газа. Если Т>>Т₀, то поведение газа описывается классическими законами.

3. Вырожденный электронный газ в металлах

Распределение электронов по различным квантовым состояниям подчиняются принципу Паули (не могут существовать в одной системе два электрона с одинаковым набором квантовых чисел). Следовательно, согласно квантовой теории, электроны в металле не могут располагаться на самом низшем энергетическом уровне даже при 0 К. Принцип Паули заставляет электроны взбираться вверх по “энергетической лестнице”.

Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака:

,

где - химический потенциал электронного газа при Т= 0 К.

Для фермионов квантовое состояние может быть не заселено, либо в нем будет находиться одна частица. Это означает , где f(E) – функция распределения электронов по состояниям. При Т= 0 К функция распределения , если Е<m₀; и при . График этой функции имеет вид (рис. 7.1).

В области энергий от 0 до m₀ функция равна 1 (рис. 7.1). При Е=m₀ она скачкообразно меняется до 0. Это означает, что при Т= 0 К. Все нижние (с меньшей энергией) сквантовые состояния, вплоть до состояния , заполнены электронами, а все состояния с энергией большей m₀ свободны. Следовательно, m₀ есть не что иное, как максимальная кинетическая энергия, которую могут иметь электроны проводимости в металле при 0 К. Эта максимальная Е_кин называется энергией Ферми и обозначается . Поэтому распределение Ферми-Дирака обычно записывается:

.

Наивысший энергетический уровень, занятый электронами при 0 К, называется уровнем Ферми.

Уровню Ферми соответствует энергия Ферми Е_F, которую имеют электроны на этом уровне. Работу выхода электрона из металла нужно отсчитывать не от дна “потенциальной ямы”, как это делалось в классической теории, а от уровня Ферми, т.е. от верхнего из занятых электронами энергетических уровней.

Для металлов при не слишком высоких температурах выполняется неравенство . Это означает, что электронный газ в металлах практически всегда находится в состоянии сильного вырождения. Температура Т₀ вырождения находится из условия . При температурах, отличных 0 К, функция распределения Ферми-Дирака плавно изменяется от1 до 0 в узкой области порядка kT в окрестности E_F (рис. 7.2). Здесь же пунктиром показана функция при Т= 0 К.

При , т.е. при больших значениях энергий, к электронам в металле применима классическая статистика, в то же время, когда , к ним применима только квантовая статистика Ферми-Дирака.

4. Квантовая теория теплоемкости и электропроводности металлов

Квантовая статистика устранила трудность в объяснении зависимости теплоемкости газов от температуры.

Если энергия теплового движения значительно меньше разности энергий соседних уровней , то при столкновении молекул вращательные и колебательные степени свободы практически не возбуждаются. Поэтому при низких температурах поведение двухатомного газа подобно одноатомному.

Так как разность между соседними вращательными уровнями энергии значительно меньше, чем между колебательными, т.е. , то с ростом температуры возбуждаются вначале вращательные степени свободы, т.е. теплоемкость растет; при дальнейшем росте температуры возбуждаются и колебательные степени свободы и происходит дальнейший рост теплоемкости.

Функция распределения Ферми-Дирака для Т = 0 и Т > 0 заметно различаются лишь в области энергий порядка kT. Следовательно, в процессе нагревания участвуют лишь незначительная часть электронов проводимости. Этим объясняется отсутствие заметной разности теплоемкостей металлов и диэлектриков.

Рассматривая непрерывный спектр частот осцилляторов (узлы кристаллической решетки), Дебай показал, что основной вклад в среднюю энергию квантового осциллятора вносят колебания низких частот, соответствующих упругим волнам. Поэтому тепловое возбуждение твердого тела можно описать в виде упругих волн, распространяющихся в кристалле.

Согласно принципу корпускулярно-волнового дуализма, упругим волнам в кристалле можно сопоставить некие частицы - фононы, обладающие энергией . Фонон – есть квант звуковой волны. Фононы являются квазичастицами – элементарными возбуждениями, ведущими себя подобно микрочастицам. Квазичастицы, в частности фононы сильно отличаются от обычных частиц (электронов, протонов, фотонов), т.к. они связаны с коллективным движением многих частиц системы. Импульс фонона обладает своеобразным свойством: при столкновении фонона в кристалле его импульс дискретными порциями передается кристаллической решетке, и импульс при этом не сохраняется. Поэтому говорят о квазиимпульсе.

Энергия кристаллической решетки рассматривается как энергия фононного газа, подчиняется статистике Бозе-Эйнштейна, т.к. фононы – это бозоны. Спин равен 0, для них . Исходя из этого, Дебай пришел к выводу, что при ; теплоемкость описывается по классической теории (закон Дюлонга и Пти), а при , , где - характеристическая температура Дебая, определяемая соотношением , где - предельная частота упругих колебаний кристаллической решетки.

Квантовая теория электропроводности металлов основана на квантовой механике и квантовой статистике Ферми-Дирака.

Выражение удельной электрической проводимости металлов

,

где n – концентрация электронов проводимости в металле; е – заряд электрона; - средняя длина пробега электрона, имеющего энергию Ферми; - средняя скорость теплового движения того же электрона.

В классической теории электропроводности Друде-Лоренца проводимость тоже обратно пропорциональна средней скорости теплового движения. Но , т.е. получается, что , что не подтверждается экспериментом. С квантовой же точки зрения - практически не зависит от температуры, а , т.е. или , что соответствует опытным данным.

 

5. Сверхпроводимость. Эффект Джозефсона

При переходе металла в сверхпроводящее состояние не изменяется структура его кристаллической решетки, не изменяются его механические и оптические (в видимой и инфракрасной области) свойства. Однако при таком переходе, наряду со скачкообразным изменением электрических свойств, качественно меняются его магнитные и тепловые свойства. Таким образом, сверхпроводимость – это макроскопический квантовый эффект.

Явление сверхпроводимости можно объяснить так: между электронами металла помимо кулоновского отталкивания, ослабляющего экранирующим действием положительных ионов решетки в результате электрон – фононного взаимодействия, возникает слабое взаимное притяжение. В результате электроны проводимости, притягиваясь, образуют связанное состояние называемое куперовской парой. Электроны, входящие в куперовскую пару, имеют противоположно направленные спины. Поэтому спин такой пары равен 0, и она представляет собой бозон. При сверхнизких температурах бозоны скапливаются в основном состоянии, поэтому система Бозе-частиц может под действием внешнего электрического поля двигаться без сопротивления со стороны проводника, что и приводит к сверхпроводимости.

Эффект Джозефсона (1963 г.) – протекание сверхпроводимого тока сквозь тонкий слой диэлектрика (пленка оксида металла толщиной нм), разделяющего два сверхпроводника. Электроны проводимости проходят сквозь диэлектрик благодаря туннельному эффекту. Если ток через контакт Джозефсона не превышает некоторое критическое значение, то падение напряжения на нем нет (стационарный эффект), если превышает – возникает падение напряжения, и контакт излучает электромагнитные волны (нестационарный эффект).

Частота излучения связана с падением U на контакте соотношением:

.

Возникновение излучения объясняется тем, что куперовские пары, проходя сквозь контакт, приобретают относительно основного состояния избыточную энергию. Возвращаясь в основное состояние, они излучают квант электромагнитной энергии:

.

Эффект Джозефсона используется для точного измерения очень слабых магнитных полей (до ), токов (до ) и напряжений (до ), а также для создания быстродействующих элементов логических устройств ЭВМ и усилителей.

Литература

[1], глава VII, § 51 ¸ 52;

глава VI, § 48 ¸ 49;

глава VIII § 55¸ 56.

[2], глава 30, § 234 ¸ 239.

[3], глава 39.

 

Лекция № 8

Элементы физики твердого тела

1. Понятие о зонной теории твердых тел.

2. Металлы, полупроводники и диэлектрики.

3. Собственная проводимость полупроводников.

4. Примесная проводимость полупроводников.

 

1. Понятие о зонной теории твердых тел

Зонная теория – это раздел квантовой механики твердых тел, представляющий собой теорию валентного электрона, движущегося в периодическом поле кристаллической решетки.

Рассмотрим мысленно процесс образования твердого тела из изолированных атомов. Пока атомы изолированы, т.е. находятся на макроскопическом расстоянии друг от друга, они имеют совпадающие схемы электрических уровней.

По мере взаимного сближения атомов до образования кристаллической решетки, т.е. когда расстояние между атомами становится равным межатомному расстоянию в твердых телах, взаимодействие между атомами приводит к тому, что энергетические уровни атомов смещаются, расщепляются и расширяются в зоны. Образуется так называемый зонный энергетический спектр (это происходит вследствие проявления принципа Паули). При больших расстояниях между атомами не происходит расщепление уровней, а при малых расстояниях между атомами уровни расщепляются.

Образование зонного энергетического спектра в кристалле является квантово-механическим эффектом и вытекает из соотношения неопределенности.

Энергетические зоны, значение энергии которых могут принимать электроны в кристалле называются разрешенными зонами.

Разрешенные энергетические уровни разделены зонами запрещенных значений энергии, называются запрещенными зонами.

Распределение зон представлено на рис. 8.2.

 

 

2. Металлы, полупроводники и диэлектрики

Зонная теория позволила с единой точки зрения истолковать существование металлов, диэлектриков и полупроводников, объясняя различие в их электрических свойствах из-за неодинаковых заполнений электронами разрешенных зон и ширины запрещенных зон. Разрешенные зоны в кристаллах подразделяются на валентные зоны и зоны проводимости.

Разрешенная зона, возникающая из того уровня, на котором находятся валентные электроны, называется валентной зоной (рис. 8.3).

Энергетические уровни полностью свободные или частично занятые электронами называются зонами проводимости (рис. 8.3).

Движение электронов в зоне проводимости определяют электрическую проводимость кристаллической решетки. Рассмотрим металл с точки зрения зонной теории.

Самая верхняя зона (рис. 8.3), содержащая электроны, заполнена лишь частично, т.е. в ней есть вакантные уровни. Поэтому электрон, получив сколь угодно малую энергетическую “добавку” (например, за счет теплового движения ) сможет перейти на более высокий уровень и участвовать в проводимости. Такое твердое тело всегда будет проводником электрического тока, т.е. металл.

Твердое тело является проводником и в том случае, когда валентная зона перекрывается свободной зоной (рис. 8.4), что в конечном счете приводит к не полностью заполненной зоне. Это имеет место для щелочно-земельных элементов (Mg, Ca, Zn).

Диэлектрики тоже имеют валентную, полностью запоненную зону и зону проводимости, но у них ширина запрещенной зоны весьма велика .

Т.е. при энергия теплового движения при этой температуре мала , и электроны не могут попасть в зону проводимости.

Полупроводник.

.

Поэтому, путем теплового возбуждения или за счет внешнего источника, способного передать энергию , кристалл будет полупроводником.

При энергии электронов недостаточно, чтобы перейти через запрещенную зону в зону проводимости. Поэтому при низких Т полупроводник является диэлектриком. При повышении Т наблюдается переброс из валентной зоны в зону проводимости, и полупроводник становится проводником.

 

3. Собственная проводимость проводников

В природе полупроводники существуют в виде элементов IV; V; VI групп таблицы Менделеева (Si; Ge; As; Se;Te).

Различают собственные и примесные полупроводники. Собственными полупроводниками являются химически чистые полупроводники, а их проводимость называется собственной проводимостью (например Ge; Se).

При Т= 0 К и отсутствии других внешних факторов собственные полупроводники ведут себя как диэлектрики.

При повышении температуры электроны с верхних уровней валентной зоны (рис. 8.7) могут быть переброшены на нижние уровни зоны проводимости. При приложении разности потенциалов появляется электрический ток. Проводимость собственных полупроводников, обусловленная электронами, называется электронной проводимостью или проводимостью n – типа.

В результате тепловых забросов электронов из зоны I в зону II в валентной зоне возникают вакантные места, получившие название дырки. Во внешнем электрическом поле на освободившееся от электрона место – дырку – может переместиться электрон с соседнего уровня, а дырка появится в том месте, откуда ушел электрон. Такой процесс заполнения дырок электронами равносилен перемещению дырок в направлении, противоположном движению электрона, как если бы дырка обладала положительным зарядом, равным заряду электрона.

Проводимость собственных полупроводников, обусловленая квазичастицами – дырками, называемые дырочной проводимостью или проводимостью р – типа.

Число электронов в зоне проводимости равно числу дырок в валентной зоне, т.е. - концентрация электронов и дырок.

Проводимость полупроводников всегда является возбужденной, появляется под действием внешних факторов.

В собственном полупроводнике уровень Ферми находится в середине запрещенной зоны.

Действительно, для переброса электрона из валентной зоны в зону проводимости затрачивается энергия активации, равная ширине запрещенной зоны .

При появлении электрона в зоне проводимости в валентной зоне обязательно возникает дырка. Поэтому энергия, затраченная на образование пары носителей, должна делиться пополам, т.к. энергия, соответствующая половине ширины запрещенной зоны , идет на переброс электрона, и такая же энергия идет на образование дырки (рис. 8.9).

Энергия Ферми в собственном проводнике представляет собой энергию, от которой происходит возбуждение электронов и дырок.

Т.к. для собственных полупроводников , то распределение Ферми-Дирака переходит в распределение Максвелла-Больцмана. Приняв, что , получим:

.

Т.к. количество электронов и дырок пропорционально , то удельная проводимость собственных полупроводников

,

где - постоянная, характеризую-щаяся для данного полупроводника прямая, по наклону которой можно определить ширину запрещенной зоны (рис. 8.10):

.

 

4. Примесная проводимость полупроводников

Проводимость полупроводников, обусловленная примесью, называется примесной проводимостью, а сами полупроводники – примесными.

Примесную проводимость рассмотрим на примере германия и кремния, в которые вводятся атомы с валентностью, отличной от валентности основных атомов на единицу. Заместим атом германия пятивалентным атомом мышьяка As (см. рис. 8.11), у которого один электрон не может образовать ковалентную связь, и легко, при тепловых колебаниях решетки, может быть отщеплен от атома, т.е. стать свободными. С точки зрения данной теории расмотренный процесс можно представить следующим образом: введение примеси искажает поле решетки, что приводит к возникновению в запрещенной зоне энергетического уровня Д (рис. 8.12) валентных электронов мышьяка, называемого примесным уровнем.

В случае германия , т.к. , то уже при обычных температурах энергия теплового движения достаточна для того, чтобы перебросить электроны примесного уровня в зону проводимости.

В полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу больше валентности основных атомов, носителями тока являются электроны; возникает электронная примесная проводимость (n - типа). Такие полупроводники называются полупроводниками n – типа. Примеси, являющиеся источником электронов, называются донорами, а энергетические уровни – донорными уровнями.

Заместим атом кремния трехвалентным атомом бора В. Для образования связей с четырьмя ближайшими соседями у атома не хватает одного электрона, одна из связей остается не укомплектованной и четвертый электрон может быть захвачен от соседнего атома основного вещества, где соответственно образуется дырка. Последовательное заполнение образующихся дырок электронами эквивалентно движению дырок в полупроводнике. Расстояние от валентной зоны до примесного уровня . Чуть выше валентной зоны образуется примесный энергетический уровень А, не занятый электронами. При низких температурах энергии kT хватает, чтобы электроны переместились на уровень А и, связываясь с атомами бора, потеряли способность к перемещению по решетке, т.е. в проводимости не участвуют. Носителями тока являются дырки, возникающие в валентной зоне.

Таким образом, в полупроводниках с примесью, валентность которой на единицу меньше валентности основных атомов возникает дырочная проводимость (р - типа).

Примеси, захватывающие электроны из зоны валентности называются акцепторами, энергетические уровни – акцепторными уровнями. Кроме основных носителей тока – дырок и электронов – в полупроводниках имеются и не основные носители: n – типа – дырки; р – типа – электроны.

Наличие примесных уровней в полупроводниках существенно меняет положение уровня Ферми (рис. 8.15, 8.16). - уровень Ферми при 0 К.

График зависимости .

АВ – примесная проводимость;

ДС – собственная проводимость;

ВС – истощение примесей.

 

Литература

[1], глава X, § 62 ¸ 64.

[2], глава 31, § 246 ¸ 248.

[3], глава 42. §421 ¸ 424.

 

 

Лекция № 9

Элементы физики твердого тела

1. Контакт двух металлов.

2. Термоэлектрические явления: Зеебека, Пельтье, Томпсона.

3. Контакт металл-полупроводник.

4. Электронно-дырочный переход (p-n переход).

1. Контакт двух металлов

Если два различных металла привести в соприкосновение, то между ними возникает разность потенциалов, называемых контактом разных потенциалов. Если металлы Al, Zn, Sn, Pb, Sb, Bi, Hg, Fe, Cu, Ag, Au, Pt, Pd привести в контакт в указанной последовательности, то каждый предыдущий при соприкосновении с одним из следующих зарядится положительно. Это ряд Вольта. Вольт экспериментально установил 2 закона:

1) Контактная разность потенциалов зависит лишь от химического состава и температуры соприкасающихся металлов.

2) Контактная разность потенциалов последовательно соединенных различных проводников, находящихся при постоянной температуре, не зависит от химического состава промежуточных проводников и равна контактной разности потенциалов, возникающей при непосредственном соединении крайних проводников.

Рассмотрим контакт двух металлов с различными уровнями Ферми и различными работами выхода (рис. 9.1). Если , то уровень Ферми располагается в металле 1 выше, чем 2. Следовательно, при контакте электроны с более высоких уровней металла 1 будут переходить на более низкие 2, что приведет к заряду металла 1 положительно, а металла 2 – отрицательно. Одновременно происходит относительное смещение энергетических уровней: в металле 1 заряжающиеся положительно все уровни смещаются вниз, а в металле 2 заряжающиеся отрицательно – вверх. Этот процесс будет происходить до тех пор пока не установятся уровни Ферми (рис. 9.2). Следовательно, между точками А и В устанавливается разность потенциалов – внешняя контактная разность потенциалов, которая определяется (рис.9.2).

Т.к. по условию, уровни Ферми различны для данных металлов, то возникает внутренняя контактная разность потенциалов, которая определяется (рис. 9.2).

Причиной возникновения контактной разности потенциалов является различие концентрации электронов в контактных металлах, и она зависит от температуры Т. Как правило, . Внутренняя контактная разность потенциалов возникающая в двойном электрическом слое и образующаяся в приконтактной области, называемым контактным слоем и равна , т.е. соизмерима с междуузельными расстояниями в решетке металла. Следовательно, электрический ток через контакт двух металлов проходит так же легко, как и в металле в любом направлении.

2. Термоэлектрические явления

Если температура контактов различных металлов, соединенных между собой, неодинакова, то в цепи возникает электрический ток – называемый термоэлектрическим.

Данное явление получило название явление Зеебека ( обнаружено в 1821 г. Германия).

Рассмотрим замкнутую цепь, состоящую из двух последовательно соединенных разнородных проводников 1 и 2 с темпрературами слоев и слоя B – T₂, причем (рис. 9.3).

В замкнутой цепи для таких пар разнородных металлов, как: Cu – Bi; Ag – Cu; Au – Cu возникает ЭДС. называется термо ЭДС. Направление I указано стрелкой. Причина возникновения термо ЭДС: разные температуры . Значит , следовательно величина большая. Расчеты и эксперименты показывают, что a может быть записана в следующем виде:

.

Явление Зеебека используется для измерения температуры термоэлементов или термопар. На практике часто используются термопары, состоящие из особо подобранных сплавов, например: ХК – хромель – копель, ХА – хромель – алюмель. Термопары могут быть соединены последовательно, т.е. образовывать термобатареи. Термобатареи создают ЭДС, равную (рис. 9.4): .

Такие устройства разность температур непосредственно преобразуют в разность потенциалов.

В 1834 г. во Франции было обнаружено еще одно контактное термоэлектрическое явление, которое по имени открывателя было названо эффектом Пельтье.

При прохождении электрического тока через контакт двух разнородных металлов, помимо обычной джоулевой теплоты поглощается или выделяется дополнительное количество теплоты. Явление Пельтье, таким образом, является обратным по отношению к явлению Зеебека. Пусть замкнутая цепь состоит из двух разнородных металлов 1 и 2, по которым пропускается ток , его направление выбрано совпадающим с термотоком при условии (рис. 9.5). При прохождении тока спай А будет охлаждаться, а спай В – нагреваться. При изменении направления тока спай А будет нагреваться, а спай В – охлаждаться. Если электроны пройдут спай В и попадут в область с меньшей энергией, то избыток своей энергии они отдадут кристаллической решетке и спай будет нагреваться. В спае А электроны переходят в область с большей энергией, забирая теперь недостающую энергию у кристаллической решетки и спай будет охлаждаться. При этом количество теплоты, выделяющееся в контактах А и B, пропорционально количеству заряда прошедшего через контакт:

,

где - коэффициент Пельтье, который равен ; a - удельная термо ЭДС эффекта Зеебека.

Подобно термобатареям элементы (пары) Пельтье могут быть соеденены последовательно, что позволяет пропорционально увеличить количество тепла выделяемого или поглощаемого.

Это явление используется в термоэлектрических полупровод-никовых холодильниках (охлождение до -50⁰ С).

Явление Томсона (1856 г.).

При прохождении тока по неравномерно нагретому проводнику должно происходить дополнительное выделение (поглощение) теплоты, аналогично теплоте Пельтье. Объясняется это таким образом: т.к. в более нагретой части проводника электроны имеют большую энергию, чем в менее нагретой, то, двигаясь в направлении убывания температуры, они отдают часть своей энергии решетке, в результате чего происходит выделение теплоты Томсона. Если же электроны движутся в сторону возрастания температуры, то они, наоборот, пополняют свою энергию за счет энергии решетки, в результате чего происходит поглощение теплоты Томпсона. Теплоту Томпсона можно расчитать по формуле:

,

где I – ток; - длина проводника; Q – количество тепла; t - коэффициент Томпсона.

 

3. Контакт металл – полупроводник

1. Приведем в контакт металл с работой выхода - работа выхода полупроводника n – типа (диаграммы уровней показаны на рис. 9.6). При этом электроны из полупроводника будут переходить в металл, в результате чего контактный слой полупроводника объединится электронами и зарядится положительно, а металл отрицательно. Этот процесс будет происходить до уравнивания уровней Ферми. На контакте образуется двойной электрический слой d, поле которого (контактная разность потенциалов) препятствует дальнейшему переходу электронов. Вследствие малой концентрации электронов проводимости в полупроводнике (, вместо в металлах) толщина контактного слоя в полупроводнике достигает примерно , т.е. в 10000 раз больше, чем в металле.

Такой контактный слой называется запирающим.

Кроме рассмотренного случая возможны еще 3 варианта контактов металл-полупроводник:

2. , полупроводник n – типа (рис. 9.7);

3. , полупроводник р – типа (рис. 9.8);

4. , полупроводник р – типа (рис. 9.9).

Рассмотрим эти случаи подробнее:

2. Если (рис. 9.7), то электроны из металла переходят в n-полупроводник и образуют в контактном слое n-полупроводника отрицательный объемный заряд. Следовательно, контактный слой d обладает повышенной проводимостью, т.е. не является запирающим.

3. Если (рис. 9.8), то в контактном слое металл – р-полупроводник наблюдается избыток основных носителей тока – дырок в валентной зоне, и контактный слой обладает повышенной проводимостью, т.е. не является запирающим.

4. Если (рис. 9.9), то в контактном слое наблюдаетя избыток отрицательных ионов акцепторных уровней и недостаток дырок в валентной зоне. Контактный слой запирающий, как в случае 1 (рис. 9.6).

Запирающий контактный слой возникает при n – полупроводнике с меньшей А работой выхода, чем у металла, у р – полупроводника при большей А, чем у металла.

Запирающий контактный слой обладает односторонней проводимостью, т.е. при приложении к контакту внешнего электрического поля он пропускает ток в одном направлении.

Если направление внешнего и контактного полей противополож-ны – то основные носители тока втягиваются в контактный слой из объема полупроводника (толщина слоя уменьшается и его сопротивление уменьшается), это пропускное направление.

Если совпадают, то толщина растет и сопротивление возрастает. Это направление - запорное.

 

4. Контакт электронного и дырочного полупроводников (p–n – переход)

Граница соприкосновения двух полупроводников, один из которых имеет электронную, а другой дырочную - проводимость, называется электронно-дырочным переходом (или p-n - переходом).

Например, на кристалл Ge накладывают таблетку In. Нагревают при температуре в вакууме или в инертном газе: атомы индия дифундируют на некоторую глубину в германий. Затем расплав немедленно охлаждают. Образуется p-n – переход.

Рассмотрим физические процессы, происходящие в p-n – переходе. Пусть донорный проводник (, уровень Ферми ) приводится в контакт с акцепторным полупроводни-ком () (рис. 9.10). Электроны из n – полупро-водника, где на концентрацию выше будут переходить в p – полупроводник. Диффузия дырок происходит в обратную сторону. В n – полупроводник из-за ухода электронов вблизи границы остается нескомпен-сированный положительный объемный заряд. В p – полу-проводнике из-за ухода дырок образуется (отрицательный) объемный заряд. Эти объемные заряды образуют у границы двойной электрический слой, поле которого направлено от , и препятствует дальнейшему переходу электронов и дырок. Если концентрации электронов и дырок одинаковы, то и . При определенной толщине p-n – перехода наступает равновесное состояние, характеризуемое выравниванием уровня Ферми. В области p-n – перехода энергетические уровни искривляются, в результате чего возникают потенциальные барьеры, как для электронов, так и для дырок. Высота потенциального барьера определяется первоначальной разностью уровней Ферми в обоих полупроводниках. Все энергетические уровни акцепторного полупроводника подняты относительно уровней донорного на высоту, равную , причем подъем происходит на толщине двойного слоя d. , а контактная разность потенциалов составляет десятые доли вольта.

При обычных температурах равновесный контактный слой является запирающим (повышенное сопротивление).

Сопротивление запирающего слоя можно изменить с помощью внешнего электрического поля.

Если Е внешнего поля совпадает по направлению с , то оно вызывает движение электронов в n – полупроводнике и дырок в p – полупроводнике от границы в противоположные стороны (рис. 9.11). В результате запирающий слой расширяется. Такое напряжение называется запирающим (обратным).

Если Е направлено навстречу , то такое включение прямое. Вольт-амперная характеристика n-p контакта приведена на рисунке 9.12. Совершенно очевидно применение свойства односторонней проводимости системы: выпрямление переменного тока. Именно на этом принципе действуют полупроводниковые диоды.

Литература

[1], глава X, § 62 ¸ 64.

[2], глава 31, § 246 ¸ 248.

[3], глава 42. §421 ¸ 424.

 

 

Лекция № 10

Элементы физики атомного ядра

1. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число.

2. Дефект массы и энергия связи ядра.

3. Спин ядра и его магнитный момент.

4. Ядерные силы. Модели ядра.

5. Радиоактивное излучение. Закон радиоактивного распада.

 

1. Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число

Резерфорд, исследуя прохождение - частиц через тонкие пленки золота, пришел к выводу, что атом состоит из положительно заряженного ядра и окружающих его электронов. Атомные ядра имеют размеры примерно (размер атома порядка ).

Атомное ядро состоит из элементарных частиц – протонов и нейтронов (протонно-нейтронная модель ядра была предложена советским физиком Иваненко и далее развита Гейзенбергом).

Протон (р) имеет положительный заряд, равный заряду электрона е и массу покоя .

Нейтрон (n) – нейтральная частица с массой покоя . Протоны и нейтроны называются нуклонами (от лат. - ядро). Общее число нуклонов в атомном ядре называется массовым числом А.

Атомное ядро характеризуется зарядом , где , Z – зарядовое число ядра, равное числу (р) в ядре и совпадающее с порядковым номером химического элемента в системе Менделеева.

Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом : где А – массовое число; Z – атомный номер элемента.

Т.к. атом нейтрален, то заряд ядра определяет и число электронов в атоме, т.е. определяет специфику данного химического элемента.

Ядра с одинаковыми Z, но разными А (т.е. с разными числами нейтронов ) называется изотопами, а ядра с одинаковыми А, но разными Z – изобарами.

Радиус ядра задается эмпирической формулой

,

где .

Отсюда вытекает, что объем ядра пропорционален числу нуклонов в ядре. Следовательно, плотность ядерного вещества примерно одинакова для всех

ядер и равна приблизительно .

 

2. Дефект массы и энергия связи ядра

Исследования показывают, что атомные ядра являются устойчивыми образованиями. Это означает, что в ядре между нуклонами существует определенная связь. Массу ядер определяют с помощью масс – спектрометров (по величине удельных зарядов – отношению заряда к его массе).

Измерения показали, что масса ядра несколько меньше, чем сумма масс составляющих его нуклонов. Но т.к. всякому изменению массы должно соответствов