Тепловое излучение и его характеристики

Лекция № 1

Тепловое излучение

1. Тепловое излучение и его характеристики.

2. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Законы Стефана – Больцмана и Вина.

3. Формулы Вина, Рэлея – Джинса и Планка.

4. Оптическая пирометрия.

1. Тепловое излучение и его характеристики

Излучение физическими телами электромагнитных волн (света) осуществляется за счет различных видов энергии. Наиболее распространенным в природе является тепловое излучение – излучение электромагнитных волн за счет внутренней энергии тела, т.е. за счет теплового движения атомов и молекул, из которых состоит данная физическая система.

Тепловое излучение характеризуется сплошным спектром, положения max которого зависит от температуры (рис. 1.1). При высоких температурах излучаются в основном короткие (видимые и ультрафиолетовые) электромагнитные волны, при низких - преимущественно длинные (инфракрасные). Площадь под кривой трансформируется в зависимости от температуры. Если , то кривая переходит в прямую, лежащую на горизонтальной оси длин волн.

Тепловое излучение – практически единичный вид излучения, который является равновесным.

Если тело помещено в полость, ограниченную идеальной отражающей (адиабатической) оболочкой, то через некоторое время в результате непрерывного обмена энергией между телом и излучением, наступит термодинамическое равновесие, т.е. тело в единицу времени будет столько поглощать энергии, сколько и излучать (рис. 1.2). Допустим, что равновесие между телом и излучением нарушено, т.е. излучает больше, чем поглощает, тогда тело будет охлаждаться, и наступит опять равновесие. Все другие виды излучения не равновесны.

Тепловое излучение имеет количественные характеристики:

1) Спектральная плотность электрической светимости тела – мощность излучения с единицы площади поверхности тела во всем интервале частот (длин волн)

,

где - энергия электромагнитного излучения; S – площадь излучения, t – время излучения. является функцией температуры и частоты и имеет размерность .

2) Испускательная способность:

.

Испускательную способность тела r можно рассматривать как в шкале частот, так и длин волн.

; ; ; ;

. .

Знак минус показывает, что с увеличением уменьшается .

Связь испускательной способности тела в шкале частот и длин волн

.

3) Энергетическая светимость тела в данном интервале частот

,

где - коэффициент, показывает количество энергии испускания с единицы поверхности тела в единичном интервале частот.

4) Интегральная энергетическая светимость во всем интервале частот

.

5) Поглощательная способность тела, которая равна отношению потока энергии, поглощаемой , к потоку энергии, падающей на тело .

.

Возможно перевести из шкалы частот в шкалу длин волн .

 

2. Абсолютно черное тело. Закон Кирхгофа. Законы Стефана – Больцмана и Вина

Тело, у которого , называется абсолютно черным телом АЧТ.

Моделью АЧТ может служить полость в твердом теле с тонким выходным каналом (рис. 1.3). Если масса твердого тела достаточно большая, а полость имеет малый размер (размер канала около 0,1 диаметра полости), то внутри полости при данной температуре тела Т установится равновесие между веществом тела и излучением внутри полости. В такой ситуации можно считать отверстие канала источником равновесного излучения.

Наряду с понятием “черное тело” используется понятие “серое тело” – это тело, поглощательная способность которых меньше единицы, но одинакова для всех частот и зависит только от температуры, материала и поверхности тела.

Закон Кирхгофа.

Кирхгофф, опираясь на второй закон термодинамики, анализируя условия равновесного излучения в изолированной системе тел, установил количественную связь между поглощательной способностью и испускательной:

.

При этом функция Кирхгофа является для всех тел универсальной функцией частоты (или длины волны) и температуры.

Для черного тела закон Кирхгофа может быть записан следующим образом:

.

Энергетическая светимость абсолютно черного тела зависит только от температуры.

Анализ экспериментальных кривых Кирхгофа показал:

1) Испускательная способность быстро растет с увеличением температуры.

2) Каждая кривая дает один максимум, который при повышении температуры смещается в область коротких волн.

3) Площадь кривой дает энергетическую светимость черного тела при соответствующей температуре.

Закон Стефана – Больцмана.

.

Энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуре (см. рис. 1.4):

,

где Z – коэффициент черноты.

I Закон Вина (закон смещения).

Немецкий физик В.Вин, опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины волны , соответствующей максимуму функции , от температуры (см. рис. 1.4):

,

где b₁ – постоянная Вина; b₁=2,9∙10^-3 мК.

Он показывает смещение положения max функции по мере возрастания температуры в область коротких длин волн.

II закон Вина.

Максимум испускательной способности пропорционален T⁵ (см. рис. 1.4):

, где .

 

3. Формулы Вина, Рэлея – Джинса и Планка

Формула Релея-Джинса.

Попытка теоретически описать универсальную функцию Кирхгофа была принята Рэлеем и Джинсом – английскими учеными, которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись законом равнораспределения энергии по степеням свободы.

,

где kT – средняя энергия осциллятора.

Как показал опыт, это выражение согласуется с опытом только в области достаточно малых частот и больших температур (см. рис. 1.5). В области больших частот формула Рэлея – Джинса резко расходится с экспериментом и законами Вина. Т.е. полная энергетическая светимость по Релею-Джинсу стремится к ¥, что говорит о нарушении закона сохранения энергии.

Этот результат получил название ”ультрафиолетовой катастрофы”.

Формула Вина.

Вином тоже была сделана попытка построения функции Кирхгофа. В отличии от Релея и Джинса Вин предположил, что распределение энергии по частотам аналогично максвеловскому распределению молекул газа по скоростям. Формула Вина (вариант функции Кирхгофа) имеет вид (см. рис. 1.5):

,

где b₁, b₂ – постоянные.

Формула Планка.

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для универсальной функции Кирхгофа было найдено в 1900 году Планком. Для этого ему пришлось отказаться от положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно. Планк предположил, что атомные осцилляторы излучают энергию определенными порциями – квантами. По этой квантовой гипотезе Планка энергия излучения равна:

, где h=6,625·10^-34 Дж∙с,

или , где , Дж∙с.

Тогда универсальная функция Кирхгофа будет иметь следующий вид:

.

Из вида этой функции может быть осуществлен вывод формул законов Стефана – Больцмана, Вина и формул Рэлея – Джинса, Вина.

 

4. Оптическая пирометрия

Методы измерения высоких температур, использующие зависимость спектральной плотности энергетической светимости тел от температуры, называется оптической пирометрией. Приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения называются оптическими пирометрами. В зависимости от того, какой закон теплового излучения используется, различают радиационную, цветовую и яркостную температуру.

1) Радиационная температура- это такая температура черного тела, при которой его энергетическая светимость R_е равна энергетической светимости исследуемого тела R_т. В данном случае регистрируется энергетическая светимость исследуемого тела, и по закону Стефана-Больцмана вычисляется радиационная температура

,

T_р < Т- истинной температуры.

,

где Z < 1- степень черноты.

2) Цветовая температура.

Зная, что серые тела имеют поглощающую способность , к ней применим закон Вина:

.

Зная , соответствующую максимальной спектральной плотности энергетической светимости R_T, определим Т_ц.

Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной.

Т_ц = Т_ист.

Т_ц солнца = 6500⁰К.

3) Яркостная температура.

Т_я - это температура черного тела, при которой для определенной длины волн его спектральная плотность энергетической светимости равна спектральной плотности энергетической светимости исследуемого тела

,

T_я < Т_ист - яркостная температура меньше истинной, т.к. .

В качестве яркостного пирометра используют пирометр с исчезающей нитью.

Литература

[1], глава I, § 1 ¸ 7.

[2], глава 26, § 197 ¸ 201.

[3], глава 31.

 

Лекция № 2

Фотоэлектрический эффект. Световое давление

1. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом.

2. Основные законы фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Красная граница.

3. Корпускулярные свойства света. Фотоны. Энергия, импульс и масса фотона.

4. Давление света.

5. Эффект Комптона.

6. Корпускулярно-волновой дуализм.

 

1. Взаимодействие электромагнитного излучения с веществом

При взаимодействии электрического излучения с веществом излучение передает веществу энергию. В результате такого взаимодействия появляется ряд эффектов. Один из них обнаружен Герцем в 1887 году и назван фотоэлектрическим эффектом - это явление вырывания из тел электронов под действием света. Подробно это явление было исследовано Столетовым.

Столетов установил следующие закономерности:

1. Наиболее эффективное действие оказывает ультрафиолетовое излучение.

2. Под действием света вещество теряет только отрицательные заряды.

3. Сила тока, возникающая под действием света, прямопропорциональна его интенсивности.

Различают фотоэффекты внешний, внутренний, вентильный.

1. Внешний - испускание электронов веществом под действием света (твердые тела: металлы, полупроводники, диэлектрики; и газы).

2. Внутренний - это вызванные электромагнитным излучением переходы электронов внутри полупроводника или диэлектрика из связанных состояний в свободные без вылета наружу, что приводит к возникновению фотопроводимости.

3. Вентильный - возникновение ЭДС (фото ЭДС) при освещении контакта двух разных полупроводников или полупроводника и металла, при отсутствии внешнего электрического поля. Это прямой путь преобразования солнечной энергии в электрическую (рис. 2.2).

Для исследования фотоэффекта была создана установка: на ней была снята вольт - амперная характеристика фотоэффекта (рис. 2.5).

Зависимость фототока J_Ф, образуемого потоком электронов, испускаемых катодом под действием света, от напряжения U между электродами. По мере возрастания U фототок постепенно возрастает, т.е. все большее число фотоэлектронов достигает анода. Пологий характер кривых показывает, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Максимальное значение тока J_нас- фототок насыщения- определяется таким значением U, при котором все электроны, испускаемые катодом, достигают анода: , где n - число электронов, испускаемых катодом в 1с.

Из характеристики следует, что при , . Для того чтобы , необходимо приложить задерживающее напряжение U_з:

.

 

2. Основные законы фотоэффекта. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта. Красная граница

Существуют 3 закона фотоэффекта:

1. При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в ед. времени, пропорционально интенсивности света (рис. 2.4).

2. Максимальная начальная скорость (максимальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой , а именно, линейно возрастает с увеличением (рис. 2.3).

3. Для каждого вещества существует “красная граница” фотоэффекта, т.е. минимальная частота , при которой свет любой интенсивности фотоэффекта не вызывает.

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

В 1905 году Эйнштейн показал, что явления фотоэффекта могут быть объяснены на основе квантовой теории. Свет частотой не только испускается, как предложил Планк, но и поглощается веществом отдельными порциями (квантами), энергия которых:

или , (.

Эти кванты получили название частиц фотонов. Энергия поглощающего фотона расходуется на совершение электроном работы выхода А из металла и на сообщение вылетевшему фотоэлектрону кинетической энергии

.

По закону сохранения энергии,

.

Это и есть уравнение Эйнштейна для фотоэффекта.

При уменьшении частоты света уменьшается кинетическая энергия электрона, и при , , тогда, согласно уравнению Эйнштейна,

, .

Это уравнение и есть “красная граница” фотоэффекта.

Она зависит лишь от работы выхода, т.е. химической природы вещества и состояния его поверхности.

Тогда уравнение Эйнштейна будет иметь вид:

,

т.к. , ,

.

На явлении фотоэффекта основано действие фотоэлектронных приборов: фотоэлементов, фотоумножителей, фоторезисторов, фотодиодов.

Эти средства используются в автоматизированных системах управления.

3. Корпускулярные свойства света. Фотоны. Энергия, импульс и масса фотона

Фотоэффект доказал корпускулярные свойства света, т.е. свет ведет себя как частица, называемая фотоном.

Фотон - элементарная частица, которая всегда движется со скоростью света с и имеет массу покоя, равную нулю.

Энергия фотона

,

а его масса при движении .

Импульс фотона

,

или в векторном виде

,

где - волновой вектор.

Выражение m_ф; E_ф и p_ф связывают корпускулярные характеристики фотона – массу, импульс и энергию с волновой характеристикой света – его частотой .

 

4. Давление света

С квантовой точки зрения, если фотон обладает импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. При этом, давление света на поверхность обусловлено тем, что каждый фотон при соударении с поверхностью придаёт ей свой импульс.

Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказываемое на поверхность тела потоком монохромного излучения (с частотой ), падающего перпендикулярно поверхности.

Если в единицу времени на единицу площади поверхности тела падает N фотонов, то при коэффициенте отражения света от поверхности тела фотонов отразится, а поглотится. Каждый поглощенный фотон передаёт импульс , а каждый отраженный (при отражении импульс фотона изменится на - ).

Давление света на поверхность равно импульсу:

,

где – энергия всех фотонов.

Если - обычная плотность энергии излучения, то

.

Это выражение подтверждается и экспериментами Лебедева и теорией Максвелла электромагнитного излучения.

Экспериментальное подтверждение светового давления на твёрдые тела дано в опытах Лебедева в 1900 г.

Значение светового давления на крышки определялось по углу закручивания.

Давление света на зеркальную поверхность вдвое больше, чем на зачернённую.

При , при .

5. Эффект Комптона

Эффектом Комптона называется упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентгеновского и - излучения) на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, сопровождающееся увеличением длин волн (рис. 2.7).

Электроны, энергия связи которых с атомами много меньше энергии фотона называются свободными (или слабо связанными).

, , .

Эффект Комптона – результат упругого столкновения рентгеновских фотонов со свободными электронами вещества. В процессе этого столкновения фотон передаёт электрону часть своей энергии и импульса в соответствии с законами их сокращения.

Рассмотрим упругое столкновение двух частиц – налетающего фотона, обладающего импульсом и энергией , с покоящимся свободным электроном (энергия покоя , где – масса покоя электрона) (рис. 2.8).

Фотон, столкнувшись с электроном, отдаст ему часть своей энергии и импульса и изменит направление движения (рассеится). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длин волны рассеянного излучения.

Пусть импульс и энергия рассеянного фотона равны:

, .

Электрон, ранее покоившийся приобретает импульс и энергию .

При таком столкновении выполняется закон сохранения импульса и энергии:

, .

Поскольку , и получим

,

,

где - постоянная Комптона (комптоновская длина волны для электрона).

Эффект Комптона наблюдается не только на электронах, но и на других заряженных частицах, например протонах.

Эффект Комптона, как и фотоэффект на основе квантовых представлений обусловлен взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, а во втором – поглощается. Рассеивание происходит при взаимодействии фотона со свободными электронами, а фотоэффект – со связанными электронами. Аналогично рассматриваются и опыты по давлению света.

 

6. Корпускулярно-волновой дуализм

Вышеперечисленные и многие другие опыты показывают, что наряду с волновыми свойствами (проявления: дифракция, интерференция, дисперсия) электромагнитные волны проявляют и свойства корпускул – частиц. Таким образом, электромагнитное излучение как бы двуедино – проявляет и свойства частицы и свойства волны. Эта особенность получила название корпускулярно-волновой дуализм.

Литература

[1], глава II, § 9 ¸ 11.

[2], глава 26, § 202 ¸ 207.

[3], глава 32.

 

 

Лекция № 3

Элементы квантовой механики

1. Корпускулярно – волновой дуализм свойств вещества. Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов.

2. Границы изменения классической механики; соотношение неопределённостей Гейзенберга.

3. Уравнение Шредингера для стационарного состояния; волновая функция и её статистический смысл.

 

1. Корпускулярно – волновой дуализм свойств вещества. Гипотеза де Бройля. Дифракция электронов

Французский ученый Луи де Бройль, развивая представление о двойственной корпускулярно-волновой природе света, выдвинул в 1923 году гипотезу об “универсальности корпускулярно–волнового дуализма”. Де Бройль утверждал, что не только фотоны, но и электроны и любые другие частицы материи, наряду с корпускулярными обладают также волновыми свойствами.

Итак, согласно де Бройлю, с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики – энергия Е и импульс Р, а с другой – волновые характеристики – частота и длина волны . Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства, такие же как и для фотонов

Е=h, P=.

Таким образом, любой частице, обладающей импульсом, сопоставляется волновой процесс с длиной волны, определяемой по формуле де Бройля:

.

С работ Луи де Бройля берет свое начало квантовая механика – раздел физики, который рассматривает поведение микрочастиц в тех случаях, когда ни корпускулярный, ни волновой процессы недостаточны для трактовки событий.

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально: американские физики Девиссон и Джермер обнаружили, что пучок электронов, рассеивающийся от естественной дифракционной решетки – кристалла никеля, – дает отчетливую дифракционную картину. Установка для дифракции электронов имеет вид, показанный на рисунке 3.1.

В последствии дифракционные явления обнаружили для нейтронов, протонов, атомных и молекулярных пучков.

Экспериментальное доказательство наличия волновых свойств микрочастиц привело к выводу о том, что перед нами универсальное явление, общее свойство материи. Но тогда волновые свойства должны быть присущи и к макроскопическим телам. Почему же они не обнаружены экспериментально?

Например: частица массой m = 1 г, движущейся со скоростью u = 1м/с, соответствует волне де Бройля м. Такая длина волны лежит за пределами доступной наблюдению области. Поэтому считается, что макроскопические тела проявляют только корпускулярные свойства.

2. Границы изменения классической механики; соотношение неопределённостей Гейзенберга

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. Поэтому приписывать им все свойства только частиц или все свойства только волн нельзя.

Необходимо внести некоторые ограничения в применении классической механики к объектам микромира.

В классической механике всякая частица движется по определенной траектории, так что в любой момент времени точно фиксированы ее координата и импульс. Микрочастицы из-за наличия волновых свойств существенно отличаются от классических частиц. Основным различием является то, что нельзя говорить о движении микрочастиц по определенной траектории и не правомерно говорить об одновременных точных значениях ее координаты и импульса.

Гейзенберг пришел к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью характеризовать и координатой и импульсом.

Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица не может иметь одновременно и определенную координату (x, y, z) и определенную соответствующую проекцию импульса (p_x; p_y; p_z ), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям:

,

то есть произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h.

- точность определения положения координат.

Соотношение неопределенности является квантовым ограничением применимости классической механики микрообъекта.

3. Уравнение Шредингера для стационарного состояния; волновая функция и её статистический смысл

В квантовой механике состояние микрообъектов описывается принципиально по-новому с помощью волновой функции (пси). Так как искомое уравнение должно учитывать волновые свойства частиц, то оно должно быть волновым уравнением, подобно уравнению, описывающему электромагнитные волны. Основное уравнение было введено Шредингером в 1926 г. Он базировался на двух аспектах.

Корпускулярном: задано.

Волновом:

- уравнение плоской волны, где - волновое число, но т.к. , то .

С точки зрения того, что корпускула это и волна, то по де Бройлю:

, , можно записать

, , или в комплексной записи , ,

где - волновая функция в комплексной форме.

Нас интересует только амплитудная часть волны де Бройля, т.е. сомножителем Y - функция не зависит от времени.

Найдем первую производную:

.

Найдем вторую производную:

,

тогда ,

зная, что , Þ отсюда:

или . (1)

Для 3 - мерного пространства в силовом поле имеем:

, ,

где - потенциальная энергия.

,

где - оператор Лапласа или его символьное изображение (оператор набла).

, (2)

(2)- уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Решениями уравнения (1) и (2) являются функции вида:

1) , 2) .

Стационарным является состояние: энергия частицы не зависит от времени и const, силовое поле тоже не зависит от времени, а только от координат.

Что представляет собой волновая функция Y и для чего необходимо уравнение Шредингера?

Уравнение Шредингера описывает свойства и поведение микрочастицы в квантовой механике.

Физический смысл волновой функции - он может быть раскрыт путем сопоставления дифракции света и дифракции электронов.

- число фотонов в этом месте пространства.

Количество фотонов (частиц) определяется вероятностью P нахождения частиц в данном месте пространства

- волновая теория, - корпускулярная теория.

Если дифракция электронов происходит на решетке, то или , а . Физический смысл имеет не сама функция Y, а её квадрат, он определяет плотность вероятности нахождения частицы в данном месте пространства. То есть по абсолютной величине представляет собой плотность вероятности обнаружения электрона

, или ,

вероятность нахождения частиц в объеме .

Проинтегрировав по всему пространству

,

т.е. полная вероятность обнаружения частицы где-то в пространстве равна 1 (условие нормировки). Если частица существует, то она где-то обнаружит себя, что является абсолютно достоверным событием, а вероятность достоверного события равна 1.

Из физического смысла квадрата модуля функции Y вытекает, что в квантовой механике имеет статистический характер движение любой отдельной микрочастицы.

Уравнение Шредингера дает не только решение, которое соответствует экспериментально-статистическому распределению частиц, но совместно с условиями, налагаемыми на волновую функцию, дает правило квантования энергии.

 

Литература

[1], глава IV, § 18 ¸ 22.

[2], глава 28, § 213 ¸ 217.

[3], глава 33, 34, §34.1 ¸ 34.2.

 

 

Лекция № 4

Атом водорода. Пространственное квантование

1. Модель атома Резерфорда. Теория Бора.

2. Квантовое число – как результат решения уравнения Шредингера.

3. Опыт Штерна и Герлаха. Спиновое квантовое число. Спин электрона.

зрит. труба

1. Модель атома Резерфорда. Теория Бора

В 1903 г. Резерфорд проводил исследование структуры атомов.

На пути узкого пучка - частиц располагалась тонкая металлическая фольга из Au; Ag; Cu. При прохождении через фольгу - частицы отклонялись на различные углы . Рассеянные - частицы ударялись об экран, покрытый сернистым цинком, и вызываемые ими вспышки света наблюдались в зрительную трубу (сцинтилляция). Труба и экран имеют возможность вращаться вокруг оси, проходящей через центр рассеивающей фольги. Оказалось, что часть - частиц рассеивается на очень большие углы (почти 180^o).

Анализируя эти результаты, Резерфорд пришел к выводу, что сильное отклонение - частиц возможно лишь при условии, что внутри атома существует сильное электрическое поле, созданное зарядом с большой массой и сконцентрированный в малом объёме.

В 1911 году Резерфорд предложил ядерную модель атома.

Атом представляет собой электронейтральную систему зарядов, в центре расположено тяжёлое положительное ядро (зарядом +Ze), вокруг ядра по круговым орбитам с некоторой скоростью u вращаются отрицательно заряженные электроны (полный заряд -Ze). При этом, почти вся масса сосредоточена в ядре, имеющем очень малые размеры по сравнению с размером атома. Размер атома определяется радиусом орбит электронов.

Анализ модели Резерфорда привёл к противоречию с точки зрения электродинамики:

1) Электрон, вращаясь с м/с, движется ускоренно () и должен излучать энергию. Расчёты показали, что за время вся энергия, которой обладает электрон, будет излучена, и он должен упасть на ядро, а атом разрушиться. Однако на самом деле атом устойчив.

2) Вследствие излучения электроном энергии, он должен приближаться по спирали к ядру, при этом с периодической частотой излучая электромагнитную волну, и спектр излучения такого атома должен быть сплошным. Однако опыты показали, что спектр атома – линейчатый.

Из этих двух противоречий следует:

1. Либо знание классической физики неприемлемо к атому.

2. Либо атомы системы неустойчивы.

Эти противоречия устранил в 1912 году Нильс Бор. Он выдвинул два постулата:

1. Из бесконечного множества электронных орбит, возможных с точки зрения классической механики, осуществляются в действительности только некоторые дискретные орбиты, удовлетворяющие определённым квантовым условиям. Электрон, находящийся на одной из этих орбит, несмотря на то, что он движется с ускорением, не излучает электромагнитных волн (света). Эти квантовые условия можно математически записать так:

,

где - скорость электрона по n-й орбите; m_e – масса электрона; r_n – радиус n-й орбиты электрона; - постоянная Планка; n – целое число (1, 2, …, n).

2. Излучение испускается или поглощается в виде светового кванта энергии при переходе электрона из одного стационарного (устойчивого) состояния в другое. Величина светового кванта равна разности энергии тех стационарных состояний, между которыми совершается квантовый скачок электрона:

.

Эти постулаты дали возможность определить и , действующие на электрон. Рассмотрим водородоподобный ион (ядро с зарядом +Ze и один электрон, движущийся вокруг него, рис. 4.2)

;

; (1)

; ;

; (2)

; .

При этом радиус первой орбиты водородного атома (Z = 1, n = 1) называется боровским радиусом (символ r₀ или r₁), который равен

.

.

Найдём - скорость на орбите, подставив значение r в формулу (1) постулата.

.

Найдём полную энергию:

,

,

.

Полная энергия электрона в атоме квантуема (n = 1, 2, 3…) и отрицательна. Однако эта теория Бора пригодилась лишь для атома H₂.

 

2. Квантовое число как результат решения уравнения Шредингера

Приближённая картина движения электрона в поле ядра по Бору нуждалась в существенном изменении. В модели Бора электрон движется по круговой орбите и обладает одной степенью свободы. На самом деле электрон, вращаясь вокруг ядра, имеет 3 степени свободы, поэтому функция, описывающая это движение, является функцией 3-х координат:

.

Воспользуемся уравнением Шредингера для пространственной системы координат:

.

Для его решения удобно использовать сферическую систему координат:

,

где: .

Результат решения этого уравнения имеет вид:

.

Этот результат определяется тремя квантовыми числами: n – главным; – орбитальным (азимутным) и m – магнитным.

1) Главное квантовое число n – определяет энергетические уровни электрона в атоме и может принимать целочисленные значения n = 1, 2, 3… .

2) – орбитальное квантовое число, которое при заданном n принимает значения и определяет момент импульса электрона в атоме . При этом ясно, что момент импульса (механический орбитальный момент) принимает дискретные значения.

3) m – магнитное квантовое число, которое при заданном может принимать значения , т. е. всего 2+1 значений и определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление .

Механический момент , где I – момент инерции.

- магнитный момент.

Отношение называется орбитальным гиромагнитным соотношением.

Тогда

.

Величина - магнетрон Бора, равная и являющаяся единицей измерения . Это говорит о квантуемости магнитного момента.

Тогда магнитный момент - это говорит о квантуемости магнитного момента.

Таким образом, квантовые числа и их значения являются следствием решений уравнения Шредингера и условий однозначности, непрерывности и конечности, налагаемых на волновую функцию .

 

3. Опыт Штерна и Герлаха. Спиновое квантовое число. Спин электрона

О. Штерном и В. Герлахом были поставлены опыты (1921г), целью которых являлось измерение магнитных моментов. Идея опытов Штерна и Герлаха заключалась в измерении силы, действующей на атом в неоднородном магнитном поле

,

где B – индукция магнитного поля (направленного вдоль оси z) неоднородного только вдоль этой оси.

В трубку, где был создан вакуум, помещался источник пучка атомов, нагреваемый до высокой температуры серебряный шарик катод. Атомы серебра вылетали с его поверхности и через щелевые диафрагмы проходили через сильное неоднородное магнитное поле, направленное перпендикулярно пучку. Необходимая неоднородность была создана за счёт сильного электромагнита SN с полосными наконечниками специальной формы. Если бы момент импульса L_e атома (и его магнитный момент P_m) мог принимать произвольные ориентации в магнитном поле, то можно было бы ожидать непрерывного распределения попаданий атомов на пластину с большей плотностью паданий в середину и с меньшей по краям. Опыты, проведённые с серебром и атомами других элементов периодической системы привели к совершенно другому результату. На фотопластинке получились две резкие полосы – все атомы отклонялись в магнитном поле двояко, что соответствовало лишь двум возможным ориентациям магнитного момента во внешнем поле.

Для объяснения этого результата можно предположить, что у электрона, помимо орбитального момента импульса L_e и соответствующего ему магнитного момента Р_m, имеется собственный механический момент импульса L_S, который называется спином электрона и который обладает соответствующим ему собственным магнитным моментом . Из общих выводов квантовой механики следует, что спин должен быть квантовым по закону.

,

где S – квантовое число, называемое спиновым квантовым числом .

.

Таким образом, проекция спинового механического момента импульса на направление поля может принимать два значения:

.

Проекция собственного магнитного момента электрона равна магнетону Бора:

.

Отношение - спиновое гиромагнитное отношение, оно в двое превышает орбитальное гиромагнитное отношение.

 

Литература

[1], глава III, § 14 ¸ 17;

глава IV, § 23 ¸ 24;

глава V, § 31, 33.

[2], глава 29, § 223 ¸ 225.

[3], глава 35, 36 § 361 ¸ 365.

 

 

Лекция № 5

Атом и молекулы как квантовые системы

1. Принцип неразличимости тождественных частиц. Фермионы и Бозоны. Принцип Паули.

2. Распределение электронов в атоме по состояниям. Формула Бальмера.

3. Понятие об энергетических уровнях молекул, спектры молекул.

 

1. Принцип неразличимости тождественных частиц. Принцип Паули. Фермионы и Бозоны

Если перейти от рассмотрения движения одной микрочастицы (одного электрона) к многоэлектронным системам, то проявляются особые свойства, не имеющие аналогов в классической физике. Пусть квантово-механическая система состоит из одинаковых частиц, например, электронов. Все электроны имеют одинаковые физические свойства - массу, электрический заряд, спин и др. внутренние характеристики (например, квантовые числа). Такие частицы называются тождественными.

Необычные свойства системы одинаковых тождественных частиц проявляются в фундаментальном принципе неразличимости тождественных частиц, согласно которому невозможно экспериментально различить тождественные частицы. В классической механике даже одинаковые частицы можно различить по положению в пространстве и импульсам. Если частицу пронумеровать, то можно проследить траекторию ее движения.

В квантовой механике положение иное. Из соотношения неопределенности вытекает, что для микрочастицы вообще не применимо понятие траектории; состояние микрочастицы описывается волновой функцией , позволяющей вычислить лишь вероятность ² нахождения частицы в окрестностях той или иной точки пространства. Таким образом, в квантовой механике тождественные частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми.

Принимая во внимание физический смысл ², принцип неразличимости тождественных частиц можно записать в виде:

,

где и - соответственно совокупность пространственных и спиновых координат первой и второй частиц.

Из выражения вытекает, что возможны два случая:

.

Если при перемене мест частицами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной, если меняет - антисимметричной. Изменение знака волновой функции не означает изменение состояния, т.к. физический смысл имеет лишь квадрат модуля волновой функции.

Установлено, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц.

Частицы с полуцелым спином (например, электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями и называются фермионами, подчиняются статистике Ферми-Дирака.

Частицы с нулевым или целочисленным спином (например p-мезоны) описываются симметричными волновыми функциями и называются бозонами, подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Сложные частицы (атомные ядра), составленные из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин - полуцелый), а из четного - бозонами (суммарный спин целый). Обобщая опытные данные Паули сформулировал принцип, согласно которому системы фермионов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями. Или проще: в системе одинаковых фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Заметим, что число однотипных бозонов находящихся в одном и том же состоянии не лимитируется.

 

2. Распределение электронов в атоме по состояниям. Формула Бальмера

Состояние электрона в атоме однозначно определяется набором четных квантовых чисел:

Главного n (n=1, 2, 3, …);

Орбитального ;

Магнитного m_e (m_e= - …-1,0,+1,…,+ );

Магнитного спинового m_s=(m_s= +, -).

Распределение электронов в атоме подчиняется принципу Паули: в одном и том же атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел n, , m_e и m_s, т.е.:

Z(n, L, m_e, m_s) = 0 или 1,

где Z(n, , m_e, m_s) - число электронов находится в квантовом состоянии.

Принцип Паули утверждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного квантового числа.

Согласно формуле , данному n соответствует n² различных состояний, отличающихся значениями и m_e. Квантовое число принимает лишь два значения. Поэтому максимальное число электронов находится в состояниях, определяемых данным главным квантовым числом и равно:

.

Совокупность электронов, имеющих одно и то же главное квантовое число n, называется электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяются по подоболочкам, соответствующим данному . Поскольку , число подоболочек равно порядковому номеру n- оболочки.

Количество электронов в подоболочке определяется магнитным и магнитным спиновым квантовым числами: max число электронов в подоболочке с данным равно 2(2+1).

Таблица обозначения оболочек и распределения электронов по оболочкам и подоболочкам

Главное квантовое число n

Символ оболочки

K

L

M

N

O

Max число электронов в оболочке

2n2

Орбитальное квантовое число

Символ подоболочки

1S

2S

2P

3S

3P

3d

4S

4P

4d

4f

5S

5P

5d

5f

5d

Max число электронов в подоболочке 2(2+1)

 

Если известны 3 квантовых числа (n, , m_e)то .

Если известны 2 квантовых числа (n, )то .

Если известно 1 квантовое число (n)то .

(- обозначение электрона; N- количество электронов)

¹¹Nа = 1S²2S²2P⁶3S¹ - пример электронной формулы.

Формула Бальмера.

Исследование спектров излучения разреженных газов (т.е. отдельных атомов) показали, что каждому газу присущ вполне определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий. Швейцарский ученый И. Бальмер подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:

,

где - постоянная Ридберга.

Так как , то:

, ,

где .

Формула Бальмера дает возможность рассчитать либо энергию фотона, либо частоту, при переходе электрона с одного энергетического уровня на другой. Она справедлива для водорода и водородоподобных атомов.

Из второго постулата Бора :

для Н .

- энергия фотона.

,

где K-слой, на который переходит электрон; L-слой, с которого переходит электрон.

- для водородоподобных атомов.

При переходе всех электронов с уровней на уровень n = 1 называется серией Лаймана.

При переходе с на уровень n = 2 называется серией Бальмера.

При на n = 3 - серия Пашена.

При на n = 4 - серия Бреккета.

При на n = 5 - серия Пфунда.

 

Понятие об энергитических уровнях молекул, спектры молекул

- энергия, обусловленная электронной конфигурацией (электронная конфигурация); - энергия, соответствующая колебаниям молекулы (колебательная или вращательная… - энергия, связанная с вращением молекулы (вращательная или ротационная энергия).

Оптические квантовые генераторы

Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения.

2. Принципы спонтанного равновесия.

3. Принципы излучения действия лазера и особенности генерируемого им.

Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения.

Если атом находится в основном состоянии 1, то под действием внешнего излучения может осуществляться вынужденный переход в возбуждённое состояние 2,… Атом, находящийся в возбуждённом состоянии 2, может через некоторый промежуток… Если на атом, находящийся в возбуждённом состоянии, действует внешнее излучение с частотой, удовлетворяющей условно ,…

Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения ...................................41

Принципы спонтанного равновесия ..............................................................42

Принципы действия лазера и особенности генерируемого им излучения .43

Лекция № 7. Элементы квантовой статистики ..................................................47

Квантовая статистика. Фазовое пространство. Функция распределения ...48

Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака ..............................................49

Вырожденный электронный газ в металлах ..................................................51

Квантовая теория теплоемкости и электропроводности металлов .............53

Сверхпроводимость. Эффект Джозефсона ....................................................55

Лекция № 8. Элементы физики твердого тела ...................................................57

Понятие о зонной теории твердых тел ...........................................................57

Металлы, полупроводники и диэлектрики ....................................................58

Собственная проводимость полупроводников ..............................................60

Примесная проводимость полупроводников .................................................62

Лекция № 9. Элементы физики твердого тела ...................................................65

Контакт двух металлов ....................................................................................65

Термоэлектрические явления: Зеебека, Пельтье, Томпсона ........................67

Контакт металл-полупроводник .....................................................................70

Электронно-дырочный переход (p-n переход) ..............................................72

Лекция № 10. Элементы физики атомного ядра ...............................................75

Размер, состав и заряд атомного ядра. Массовое и зарядовое число ..........75

Дефект массы и энергия связи ядра ................................................................77

Спин ядра и его магнитный момент ...............................................................78

Ядерные силы. Модели ядра ...........................................................................80

Радиоактивное излучение. Закон радиоактивного распада ..........................81

Лекция № 11. Ядерные реакции и их основные типы ......................................84

Ядерные реакции ..............................................................................................84

Реакции деления ядра .......................................................................................86

Реакция синтеза атомных ядер ........................................................................88

Лекция № 12. Применение квантовой механики ..............................................89

Уравнение Шредингера для свободной частицы, находящейся в одномерной прямоугольной “потенциальной яме”. Квантование энергии ..............89

Прохождение частиц сквозь потенциальный барьер. Туннельный эффект .............................................................................................................................92

Линейный, гармонический осциллятор ..........................................................93