Метод Крамера. Метод Гаусса

Системой линейных уравнений (линейной системой) называется система вида

где числа называются коэффициентами системы, числа - свободными членами. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных , при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.

Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: где A - матрица системы, b - правая часть, x - искомое решение, - расширенная матрица системы:

 

 

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет, по крайней мере, одно решение:

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение - нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые, в этом случае система называется нетривиально совместной.

При для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю. Таким образом, чтобы доказать, что система совместна, достаточно доказать, что её определитель равен нулю.

Пусть A - квадратная матрица порядка n (n > 1). Определителем ∆ (или ) квадратной матрицы A порядка n называется число

,

где - определитель квадратной матрицы порядка (n-1), полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и j-го столбца, называемый минором элемента .

Для квадратной матрицы третьего порядка формула вычисления определителя имеет вид:

 

Или

Пример. Вычислить определитель