МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУРГАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

Кафедра «Экономическая теория и моделирование экономических процессов»

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ПО МАТЕМАТИКЕ

 

 

к выполнению контрольной (самостоятельной) работы

для студентов направлений 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», специальности 036401 «Таможенное дело»

заочной формы обучения

 

Курган 2012

Кафедра экономической теории и моделирования экономических процессов

 

Дисциплина: «Математика» (направления: 080100, 080200; специальность 036401)

 

Составила: ассистент Е.П. Белобородова

 

 

Утверждены на заседании кафедры «25» декабря 2012 г.

 

Рекомендованы методическим советом университета

«27» декабря 2012 г.

Содержание

 

Введение……………………………………………………………………………..4

1 Элементы линейной алгебры. Системы линейных уравнений. Метод Крамера. Метод Гаусса.........................................................................................4

2 Векторная алгебра. Координаты и векторы в пространстве.............................9

3 Предел функции……………………………………………………….………..11

4 Частные производные функции……………………………………….…...…..14

5 Неопределённый интеграл......................................................……………..…...16

6 Правила выполнения и оформления контрольной (самостоятельной) работы………………………………………………………………………..…..31

7 Контрольные задания……………………………………………………..…….32

Вопросы к экзаменам………………………………………………………………45

Список литературы…………………………………………………………………50

Введение

 

Методические указания составлены в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Математика» и предназначены для студентов направлений 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», специальности 036401 «Таможенное дело» заочной формы обучения. В данных методических указаниях изложены последовательность изучения дисциплины, теоретическая основа и типовые примеры для выполнения контрольных заданий, варианты контрольных (самостоятельных) работ и рекомендации по их выполнению.

Линейная алгебра. Системы линейных уравнений.

Метод Крамера. Метод Гаусса

где числа называются коэффициентами системы, числа - свободными членами. Решением системы называется совокупность n значений неизвестных , при… Система линейных уравнений может быть записана в матричном виде: где A -…  

Решение

 

Метод Крамера

Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е.…

Решение

 

Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.

Метод Гаусса

Метод Гаусса – алгоритм нахождения решения невырожденных систем линейных уравнений (система линейных уравнений невырожденная, когда её определитель… Метод Гаусса основывается на возможности выполнения преобразований линейных… · умножение любого из уравнений на ненулевую константу;

Решение

 

 

Вернувшись к системе уравнений, имеем:

 

 

Векторная алгебра. Координаты и векторы в пространстве

Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается: . Вычисляется по формуле: . Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей…

Предел функции

Определение. Функция y = f(x) стремится к пределу b при x→a, если для каждого положительного числа ε, как бы мало оно не было, можно…

Примеры

 

так как

- не существует, , так как .

Условные выражения характеризуют типы неопределенностей и применяются для обозначения переменных величин, при вычислении предела которых нельзя сразу применять общие свойства пределов. Причём

Неопределенность вида раскрывается с помощью тождественных преобразований:

а) если в числителе и знаменателе – многочлены, то следует разложить их на множители и дробь сократить.

б) если дробь содержит иррациональные выражения, то необходимо избавиться от иррациональности в числителе или знаменателе либо введением новой переменной, либо преобразованием дроби с использованием формулы разности квадратов: .

Примеры

 

Неопределенность вида также раскрывается с помощью тождественных преобразований: необходимо выражение домножить и разделить на это же выражение, только с противоположным знаком.

 

 

Пример

 

Неопределенность вида раскрывается следующим образом: числитель и знаменатель дроби разделить на х в старшей степени.

 

Пример

 

 

Формула для раскрытия неопределенности вида :

.

 

Формула для раскрытия неопределенностей вида :

 

Неопределенность вида сводится ко второму замечательному пределу.

Замечательные пределы

  Следствия первого замечательного предела:

Частные производные функции

Частной производной функции по переменной x в точке называют предел если он существует. Частную производную по х обозначают одним из следующих символов: Аналогично… Частная производная – это производная функции одной переменной, когда значение другой переменной фиксировано. Поэтому…

Решение

Выражения называют частными производными второго порядка функции по x и по y, соответственно, а выражения – смешанными частными производными второго… Теорема. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные…  

Решение

  Полученные формулы теряют смысл в точке 0 (0; 0).

Основные методы интегрирования

Непосредственное интегрирование - отыскание неопределённого интеграла с помощью таблицы основных интегралов и тождественных преобразований.

Пример. Найти интеграл .

 

Решение

Этот интеграл можно разбить на два интеграла, от каждого из слагаемых, и вынести в обоих постоянные множители за знак интеграла:  

Решение

Возьмём , тогда и . Подставляя это выражение под знак интеграла, получаем:  

Решение

Положим и . Тогда и . Значит,  

Решение

Для этого два раза применим интегрирование по частям и получим в правой части равенства снова тот же интеграл I. Полученное равенство будем… Итак,  

Решение

В подкоренном выражении выделим полный квадрат:  

Решение

Преобразуем произведение в сумму: . Тогда:

Решение

Отделяя один множитель () от нечётной степени и объединяя с дифференциалом, получаем:  

Решение

Подынтегральную функцию можно преобразовать, понизив степень:  

Решение

Знаменатель , поэтому сумма будет состоять из двух слагаемых: простейшей дроби первого типа, соответствующей линейному множителю , и простейшей…   .

Решение

 

Выполняя замену , получаем:

 

Правила выполнения и оформления контрольной (самостоятельной) работы

1 Контрольная (самостоятельная) работа выполняется в отдельной обыкновенной тетради в клетку.

Вариант контрольной (самостоятельной) работы выбирается в соответствии с последней цифрой зачетной книжки студента.

3 На обложке тетради должны быть указаны:

§ название учебного заведения, факультета, кафедры;

§ название дисциплины;

§ фамилия, имя, отчество студента;

§ номер группы;

§ номер зачетной книжки;

§ специальность;

§ фамилия, имя, отчество преподавателя.

4 В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании, строго по варианту.

5 Перед решением каждой задачи необходимо полностью записать ее условие с данными своего варианта.

6 Решение задачи следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и мотивируя все действия по ходу решения, выполняя необходимые чертежи.

7 После получения прорецензированной работы, как не зачтенной, так и зачтенной, студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты в короткий срок.

8 При высылаемых исправлениях должна обязательно находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной (самостоятельной) работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для всех дополнений и исправлений в соответствии с указаниями рецензента. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

9 Если контрольная (самостоятельная) работа не зачтена преподавателем, студент не допускается к сдаче экзамена.

 

Контрольные задания

 

В этом разделе студентам разных направлений предлагаются соответствующие задания для выполнения контрольных (самостоятельных) работ.

 

Направление 080200.62 «Менеджмент»:

1 семестр – контрольная работа №1 (таблица 1),

2 семестр – контрольная работа №2 (таблица 2).

Направление 080100.62 «Экономика»:

1 семестр – контрольная работа №2 (таблица 2),

2 семестр – контрольная работа №3 (таблица 3),

3 семестр – контрольная работа №1 (таблица 1).

Специальность 036401.65 «Таможенное дело»:

1 семестр – контрольная работа №4 (таблица 4).

Таблица 1

 

Номер варианта	Контрольная работа №1
Номера заданий

 

 

Таблица 2

 

Номер варианта	Контрольная работа №2
Номера заданий

 

Таблица 3

 

Номер варианта	Контрольная работа №3
Номера заданий

 

Таблица 4

 

Номер варианта	Контрольная работа №4
Номера заданий
	11 (а, б)		31 (а, б, в, г)
	12 (а, б)		32 (а, б, в, г)
	13 (а, б)		33 (а, б, в, г)
	14 (а, б)		34 (а, б, в, г)
	15 (а, б)		35 (а, б, в, г)
	16 (а, б)		36 (а, б, в, г)
	17 (а, б)		37 (а, б, в, г)
	18 (а, б)		38 (а, б, в, г)
	19 (а, б)		39 (а, б, в, г)
	20 (а, б)		40 (а, б, в, г)

 

1-10 Вычислить .

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11-20 Проверить совместность системы уравнений и решить её:

А) по формулам Крамера;

Б) методом Гаусса;

В) матричным методом.

  13 14  

Найти пределы, не применяя правило Лопиталя.

31а) ; б)   в) ; г)

Найти неопределенные интегралы. В заданиях а) и б) результаты интегрирования проверить дифференцированием.

101 а) ; в) ;

б) ; г) .

102 а) ; в) ;

б) ; г) .

103 а) ; в) ;

б) ; г) .

104 а) ; в) ;

б) ; г) .

105 а) ; в) ;

б) ; г) .

106 а) ; в) ;

б) ; г).

 

107 а) ; в) ;

б) ; г) .

108 а) ; в) ;

б) ; г) .

109 а) ; в) ;

б) ; г) .

110 а) ; в) ;

б) ; г).

111Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

112Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

113Вычислить длину дуги кривой от точки с абсциссой до точки с абсциссой .

114 Вычислить площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды:и осью Ох.

115Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями , .

116 Вычислить длину дуги кривой от точки с абсциссой до точки с абсциссой .

117Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

118Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .

119 Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси Ох фигуры, лежащей в плоскости Оху и ограниченной линиями, .

120Вычислить длину дуги кривой .

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНАМ

 

Направление 036401.65 «Таможенное дело»

1 курс, 1 семестр

 

1 Определители 2-го и 3-го порядка. Вычисление определителей.

2 Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами.

3 Ранг матрицы. Теорема Кронeкера-Капелли.

4 Матрицы. Обратная матрица.

5 Исследование и решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

6 Исследование и решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

7 Векторы, действия над ними. Координаты вектора.

8 Скалярное и векторное произведения векторов. Их геометрические приложения.

9 Метод координат на плоскости. Виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

10 Плоскость и прямая в пространстве. Нормальный вектор плоскости, угол между плоскостями.

11 Числовые последовательности, предел последовательности.

12 Функции. Предел функции в точке. Замечательные пределы.

13 Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

14 Производная функции, её геометрический смысл.

15 Правила дифференцирования.

16 Таблица производных.

17 Производные высших порядков.

18 Исследование функции на монотонность и экстремумы с помощью производной.

19 Нахождение направлений выпуклости и точек перегиба графика функции с помощью производной.

20 Асимптоты графика функции.

21 Неопределённый интеграл и его свойства.

22 Таблица неопределённых интегралов.

23 Метод замены переменной в неопределённом интеграле.

24 Формула интегрирования по частям в неопределённом интеграле.

25 Определённый интеграл и его свойства.

 

Направление 080200 «Менеджмент»

1 курс, 1 семестр

 

1 Определители 2-го и 3-го порядка. Вычисление определителей.

2 Матрицы. Основные понятия. Действия над матрицами.

3 Ранг матрицы. Теорема Кронeкера-Капелли.

4 Матрицы. Обратная матрица.

5 Исследование и решение систем линейных уравнений. Формулы Крамера.

6 Исследование и решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

7 Векторы, действия над ними. Координаты вектора.

8 Скалярное и векторное произведения векторов. Их геометрические приложения.

9 Метод координат на плоскости. Виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от точки до прямой.

10 Плоскость и прямая в пространстве. Нормальный вектор плоскости, угол между плоскостями.

11 Числовые последовательности, предел последовательности.

12 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними.

13 Теоремы о пределах (предел суммы, произведения, частного двух последовательностей).

14 Предел функции. Определение, геометрическая иллюстрация. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, их пределы.

15 Односторонние пределы. Признак существования предела функции в точке.

16 Первый замечательный предел. Второй замечательный предел.

17 Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины. Таблица эквивалентности.

18 Непрерывность функции в точке и на отрезке. Точки разрыва, их классификация.

 

Курс, 2 семестр

1 Производная функции. Определение, геометрический и механический смысл. 2 Основные правила дифференцирования (производная суммы, произведения,… 3 Таблица производных.

Курс, 1 семестр

1 Определение функции. Область определения. 2 Последовательность. Монотонные ограниченные и неограниченные… 3 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними.

Курс, 1 семестр

2 Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей. Методы вычисления определителей. Понятие минора и алгебраического дополнения.… 3 Решение и исследование систем линейных уравнений. Формулы Крамера. 4 Ранг матрицы, его вычисление. Теорема Кронекера-Капелли.

Список литературы

Основная литература

1 Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 2010.

2 Высшая математика для экономистов. / Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: Юнити, 2004. – 471 с.

3 Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 2009. – Ч. 1.

4 Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. - М.: Высшая школа, 2009. - Ч. 2.

5 Карасёв А.И. Курс высшей математики для экономических вузов. – М.: Высшая школа, 2009.

6 Клименко Ю.И. Высшая математика для экономистов: теория, примеры, задачи: Учебник для вузов. – М.: Изд-во «Экзамен», 2005.

7 Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Физматгиз, 2009.

8 Основы математики и её приложения в экономическом образовании / Под ред. Б.П. Чупрынова. – М., 2007.

 

Дополнительная литература

 

1 Белько И.В, Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. - М.: ООО «Новое Знание», 2005. - Ч. 1-3.

2 Высшая математика / Под ред. Г.Н. Яковлева. - М.: Просвещение, 1988 (2003).

3 Руководство к решению задач по высшей математике / Под общей редакцией Е.И. Гурского. – М.: Высшая школа, 2009.

 

Методическая литература

 

1 Исакова Т.И. Линейная алгебра: Методические указания и контрольные задания для студентов направления 080100 «Экономика». – Курган: КГУ, 2012.

2 Исакова Т.И. Методические указания и контрольные задания по математическому анализу для студентов направления 080100 «Экономика». – Ч. 1. – Курган: КГУ, 2012.

3 Трофимова Л.А. Математика: Методические указания к выполнению практических и самостоятельных заданий для студентов направления 080200 «Менеджмент», специальности 036401 «Таможенное дело». – Ч. 1, 2. – Курган: КГУ, 2012.

 

 

 

 

Белобородова Екатерина Прокопьевна

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

И ТЕМАТИКА КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

ПО МАТЕМАТИКЕ

к выполнению контрольной (самостоятельной) работы для студентов направлений 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент»,… заочной формы обучения