Метод Гаусса

 

Метод Гаусса – алгоритм нахождения решения невырожденных систем линейных уравнений (система линейных уравнений невырожденная, когда её определитель не равен нулю). Основная идея метода состоит в приведении матрицы А посредством эквивалентных преобразований к треугольному виду, после чего значения искомых неизвестных могут быть получены непосредственно в явном виде.

Метод Гаусса основывается на возможности выполнения преобразований линейных уравнений, которые не меняют при этом решения рассматриваемой системы (такие преобразования носят наименование эквивалентных). К числу таких преобразований относятся:

· умножение любого из уравнений на ненулевую константу;

· перестановка уравнений;

· прибавление к уравнению любого другого уравнения системы.

 

Рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:

 

 

Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x₁. Для этого второе уравнение разделим на а₂₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а₃₁ и умножим на –а₁₁, а затем сложим с первым. В результате исходная система примет вид:

 

 

Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x₂. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:

 

 

Из последнего уравнения легко найти x₃, затем из 2-го уравнения x₂ и, наконец, из 1-го – x₁.

Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы

, затем приводят её к треугольному виду с помощью

 

элементарных преобразований (перестановка строк или столбцов; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке других строк).

 

Пример. Решить систему уравнений методом Гаусса.