Направленный отрезок с началом в точке и концом в точке называется вектором. Обозначается или строчной буквой латинского алфавита:. Тогда координаты вектора = .
Длина отрезка называется длиной или модулем вектора и обозначается: . Вычисляется по формуле: .
Скалярным произведением векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:
Скалярное произведение в координатах. Пусть векторы , Тогда скалярно произведение косинус угла между векторами можно вычислить по формуле:
.
Векторным произведением векторов называется вектор, обозначаемый , и удовлетворяющий трём условиям:
· перпендикулярен каждому из перемножаемых векторов;
· его длина - ,
· тройка векторов - правая.
Векторное произведение в координатах:
,
где: - единичные векторы.
Геометрический смысл векторного произведения. Модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах (рисунок 1):
.
Рисунок 1 - Площадь параллелограмма равна векторному произведению
Смешанным произведением векторов называют векторно-скалярное произведение трех векторов .
Смешанное произведение в координатах: , тогда .
Геометрический смысл . Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку, т.е. .