Решение

Производную по найдём, считая переменной, а - постоянной величиной:

Выражения называют частными производными второго порядка функции по x и по y, соответственно, а выражения – смешанными частными производными второго порядка функции . Их обозначают также символами: .

Теорема. Если в некоторой окрестности точки функция имеет смешанные частные производные, причем эти производные непрерывны в точке , то они равны в этой точке:

 

.

Пример. Найти частные производные функции .