Решение системы уравнений

 

После выяснения совместности системы строят ее общее решение. Для этого вновь полученную после элементарных преобразований матрицу записывают в виде системы, отбросив нулевые строки. Количество уравнений в этой системе определяет количество основных неизвестных. Все остальные неизвестные считаются свободными, им придаются произвольные значения. В качестве основных неизвестных берут неизвестные при ступенчато-диагональных элементах.

Примеры.

а) Построим общее решение системы из первого примера предыдущего пункта. После элементарных преобразований (см. выше) получаем систему

.

Уравнений два, поэтому считаем х₁ и х₂ (стоящие при ступенчато-диаго-нальных элементах) основными, а х₃ и х₄ свободными. Находим из системы основные неизвестные через свободные:

,

.

Таким образом, общее решение системы имеет вид:

 

 

б) Решим систему

 

Записываем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

 

 

Выбираем в качестве основных переменные х₁ и х₃, как стоящие при ступенчато-диагональных элементах, переменная х₂ берется свободной. Итак,

и общее решение системы