Пусть даны два вектора и .Тогда их скалярное произведение определяется из равенства , где j – угол между этими векторами.
Если векторы заданы в координатной форме , , то их скалярное произведение вычисляется по формуле:
.
Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами:
а) ;
б) если ^ (ортогональные вектора), то = 0;
в) ;
г) ;
д) , где λ – любое число.
Примеры.
а) Найти скалярное произведение векторов = (2, 1, 1) и = (2, -5, 1).
Из определения имеем = .
б) Даны вектор = (m, 3, 4) и вектор = (4, m, -7). При каких значениях m вектор ортогонален вектору ?
Из условий ортогональности имеем: = 4m + 3m -28 = 0,
7m = 28, m = 4.
в) Найти , если и ^ .
Из свойств скалярного произведения имеем: ,
так как ^ , тогда
г) Определить угол между векторами = (1, 2, 3) и = (0, 4, -2).
Так как , то . Из координатного представления векторов находим 0+8-6=2, по формуле (4.1) имеем тогда