Смешанным произведением трех векторов
называется число
Смешанное произведение обладает следующими свойствами:
а) , если все три вектора параллельны одной и той же плоскости (компланарны);
б)
г) объем параллелепипеда, построенного на векторах и , равен
Примеры.
а) Найти смешанное произведение векторов =(5, 7, 2), = (1, -1, 1),
= (2, 2, 1).
Из определения имеем
= -5 + 14 + 4 + 4 - 10 - 7 = 0, т.е. вектора и компланарны.
б) Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 3, 3), С(4, 5, 4), D(5, 5, 6).
Из свойств смешанного произведения заключаем, что искомый объем равен
в) Вычислим
Используя определение смешанного произведения и свойства векторного и скалярного произведений, получаем
г) По координатам вершин пирамиды найти: 1) длины ребер и 2) угол между ребрами и 3) площадь грани 4) объем пирамиды
Находим векторы и
Длины векторов, т.е. длины ребер и , таковы:
Скалярное произведение векторов и равно
а косинус угла между ними:
Отсюда следует, что – тупой угол, равный (рад.) с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами и
Площадь грани равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:
Следовательно,
Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, построенного на векторах , , . Вектор Итак,