Общее уравнение прямой имеет вид
Ах + Ву + С = 0, (8.1)
причем вектор = (А, В) ¹ 0. Вектор является ортогональным к прямой (8.1) и его называют вектором нормали. Если С = 0, то прямая (8.1) проходит через начало координат. Если же С ¹ 0, то после деления уравнения (8.1) на (-С) получаем уравнение прямой в отрезках
(8.2)
где ; , причем (а, 0) и (0, b) – координаты точек пересечения прямой (8.2) с осями координат.
Пример. Составим уравнение прямой, отсекающей на осях координат отрезки а = 0,2, -0,1.
Воспользовавшись уравнением (8.2), имеем
или 5х - 10у - 1 = 0.
Если в уравнении (8.1) В = 0, то прямая параллельна оси Оy. Если же В ¹ 0, то уравнение (8.1) можно преобразовать к уравнению прямой с угловым коэффициентом
у = kх + b, (8.3)
где , причем , а a – угол, образованный прямой с положительным направлением оси Ох. Свободный член b в (8.3) – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
Примеры.
а) Составим уравнение прямой, отсекающей от оси Оу отрезок b= -3 и образующей с этой осью угол b = p/6.
Заметив, что , из уравнения (8.3) выводим у = х·tg a - 3 = =х·tg(p/2 -p/6) - 3 = .
б) Представим общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = 0 в виде уравнения в отрезках и уравнения с угловым коэффициентом.
Разрешив общее уравнение прямой относительно у, получим уравнение с угловым коэффициентом: у = 2,4х - 13 (k = -12/-5=2,4, b = -(-65/-5)= -13).
Разделив общее уравнение прямой на 65 и перенеся 1 направо, получим уравнение в отрезках: (а = 65/12, = - 13).
Если заданы две прямые:
А1х + В1у + С1 = 0 или у = k1х + b1,
А2х + В2у + С2 = 0 или у = k2х + b2,
то для острого угла j между ними справедливы формулы:
(8.4)
(8.5)
Отсюда легко получаем условия параллельности прямых:
А1/А2 = В1/В2 или k1 = k2 (8.6)
и ортогональности прямых:
А1А2 + В1В2 = 0, или k 1 = - 1/ k2. (8.7)
Примеры.
а) Определим острый угол между прямыми у = -3х + 7 и у = 2х + 1.
Из формулы (8.5) имеем
tg j = |(2 - (-3))/(1 + (-3)2)| = 5/5 = 1, j = p/4.
б) Покажем, что прямые 4х - 6у + 7 = 0 и 20х - 30у - 11 = 0 параллельны.
Из условий (8.6) имеем 4/20 = (-6)/(-30) = 1/5, т.е. прямые параллельны.
в) Покажем, что прямые 3х - 5у + 7 = 0 и 10х + 6у - 3 = 0 ортогональны.
Применяя условие ортогональности (8.7), имеем 3∙10 - 5∙6 = 0 и делаем заключение об ортогональности прямых.
Уравнение прямой, проходящей через точку (х0, у0) записывается в виде
А(х - х0) + В(у - у0) = 0 (8.8)