Предел функции. Основные определения и обозначения
Определение конечного предела функции в точке: число 
называется пределом функции 
при 
если для любого 
найдется 
такое, что 
при 
Обозначение: 
или 
при 
Говорят, что число является пределом функции при 
и пишут 
если для любого найдется число 
такое, что 
как только 
Наряду с введенным выше понятием предела функции используется также следующее понятие одностороннего предела. Число называют пределом функции в точке 
справа (слева) и пишут 
если для любого найдется такое, что при 
Аналогично вводится понятие одностороннего предела на бесконечности 
и 
Отметим, что 
тогда и только тогда, когда 
Функция 
называется бесконечно малой (бесконечно большой) при если 
Две бесконечно малые (бесконечно большие) функции 
и 
при называются эквивалентными, если 
Обозначение: 
при 
Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.
(11.1)
если 
Отметим, что (С – константа)
Наиболее простым способом вычисления пределов 
является непосредственная подстановка вместо х числа а. При этом может получиться какое-либо число, которое и является пределом. Например
.
Второй также несложный случай возникает, если при такой непосредственной подстановке одна из составляющих имеет предел равный ¥, и получаются следующие варианты (и их решение): С/¥ = 0, С/0 = ¥, ¥/0 = ¥, 
, 
. Например
.
В остальных случаях возникают так называемые неопределенности. По поведению функций пределы делятся на неопределенности вида: 
, 
Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:
а) сокращение на множитель, создающий неопределенность;
б) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при 
);
в) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;
г) использование двух замечательных пределов:
(11.2)
Второй из этих пределов можно также записать в виде
11.2. Неопределенности вида 0/0
а) Рациональные выражения. В случае неопределенности 0/0 для рациональных выражений всегда применяется прием сокращения множителя, обращающегося в ноль. Для этого предварительно выделяется линейный множитель, который обращается в ноль. Для выделения линейного множителя находят корни многочлена и разлагают его на множители.
Пример. Найти предел
Находим корни числителя х2 - х - 6: х1 = 3, х2 = -2. Разлагаем его на множители х2 - х - 6 = (х – 3)(х + 2). То же самое проделываем и для знаменателя: х1 = 3, х2 = -7/2, 2х2 + х - 21 = 2(х – 3)(х + 7/2) =
= (х – 3)(2х + 7). Подставим эти разложения в предел и сокращаем множители, обращающиеся в ноль:
б) Иррациональные выражения. Пределы вычисляются также сокращением множителя, обращающегося в предельной точке в ноль. Правда предварительно для этого иррациональное выражение домножают и делят на сопряженное выражение, т.е., если выражение имеет вид (a ± b), то его домножают и делят на (a 
b).
Пример. Найти предел
Домножим числитель и знаменатель на выражение 
, одновременно разлагая знаменатель на множители:
в) Выражения, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Вычисление пределов в этом случае, как правило, проводится по следующим трем методикам:
1) использование первого замечательного предела
или эквивалентности:
sin a(x) ~ a(x) при a(x) ® 0 (x ® x0 );
2) использование формул тригонометрии;
3) применение замены для сведения к первому замечательному преде-лу.
Примеры.
а) Найти предел
Воспользуемся приведенными эквивалентностями:
sin 5x ~ 5x, sin 2x ~ 2x при x® 0.
Тогда
б) Найти предел
По формулам тригонометрии (
) с учетом эквивалентности имеем
в) Найти предел
Для сведения к первому замечательному пределу сделаем две замены:
у = 1/х, z = arcsin y:
г) Найти предел
Сделаем замену переменной: у = х + 2. Тогда (с учетом периодичности тангенса и эквивалентности)
г) Выражения, содержащие логарифмические и показательные функции. Основными приемами вычисления пределов в этом случае являются:
1) использование эквивалентностей
ln (1 + a (x)) ~ a (x), aa(x) - 1 ~ a (x)ln a при a (х) ® 0;
2) замена переменной для сведения к приведенным эквивалентностям.
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
=
11.3. Неопределенности вида ¥/¥
В качестве примеров этой неопределенности рассмотрим рациональные функции, когда аргумент стремится к бесконечности. Вычисляются такие пределы вынесением в числителе и знаменателе наивысшей степени х и ее сокращением. При вычислении окончательного результата постоянно используется равенство С/¥ = 0 (C-константа).
Пример. Найти предел
Выносим наивысшую степень х в числителе и знаменателе:
11.4. Неопределенности вида ¥ - ¥, 0×¥, 00, ¥0, 1¥
Первые четыре неопределенности с помощью арифметических преобразований сводятся к рассмотренным ранее случаям. Для вычисления пределов с неопределенностью 1¥ можно использовать следующую формулу:
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
При вычислении подобных примеров наибольшую опасность представляет путаница, возникающая в связи с тем, что к определенным выражениям (типа (2/3)¥ = 0) применяют формулу, как для неопределенности вида 1¥. Например
или
