Правило Лопиталя является одним из способов раскрытия неопределенностей и , возникающих при вычислении пределов и основано на следующей теореме.
Теорема. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки , и пусть в . Если функции и являются одновременно бесконечно малыми, либо бесконечно большими при и при этом существует предел отношения их производных, то также существует предел отношения самих функций, причем .
Примеры.
а) Найти предел
б) Найти предел
В некоторых случаях раскрытие неопределенностей или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.
Пример.
Найти предел
С помощью правила Лопиталя можно раскрывать неопределенности типа и . Например, для вычисления где а (раскрытие неопределенности типа ), следует преобразовать произведение к виду (неопределенность типа ) или к виду (неопределенность типа ) и далее использовать правило Лопиталя.
Пример.
Найти предел
Для раскрытия неопределенностей типа нужно записать и найти предел , раскрыв неопределенность типа .
Пример.
Найти предел
Вычислим предел
Следовательно,