Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале если из неравенства где следует неравенство (соответственно ).
Если функция дифференцируема на интервале и при всех то функция возрастает на ; если же при всех то функция убывает на .
В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в которых производная функции обращается в нуль или не существует.
Если существует такой интервал что для всякой точки из этого интервала выполняется неравенство (или ), то точка называется точкой минимума (максимума) функции , а число – минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.
Необходимое условие экстремума функции. Если – точка экстремума функции то или не существует, т.е. – критическая точка этой функции.
Достаточные условия экстремума непрерывной функции.
1) Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки за исключением, быть может, самой этой точки, и ее производная слева от этой точки положительная, а справа – отрицательная, то точка является точкой максимума; если производная слева от точки отрицательная, а справа – положительная, то точка является точкой минимума; если производная слева и справа от точки имеет одинаковый знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.
2) Если в критической точке вторая производная отлична от нулю, то в этой точке функция имеет максимум при и минимум при
Пример.
Найти интервалы монотонности и точки экстремума для функции
Решение.
Находим производную и приравниваем ее нулю. Решая получившееся уравнение получаем Следовательно, критическими точками (с учетом тех точек, где производная не определена) являются: Область определения разбивается на два интервала монотонности: и Так как при и при то убывает на интервале и возрастает на интервале а в точке достигает минимума