Возрастание и убывание функций. Экстремум

 

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале если из неравенства где следует неравенство (соответственно ).

Если функция дифференцируема на интервале и при всех то функция возрастает на ; если же при всех то функция убывает на .

В простейших случаях область определения функции можно разбить на конечное число интервалов монотонности. Каждый из интервалов монотонности ограничен критическими точками, в которых производная функции обращается в нуль или не существует.

Если существует такой интервал что для всякой точки из этого интервала выполняется неравенство (или ), то точка называется точкой минимума (максимума) функции , а число – минимумом (максимумом) этой функции. Точки минимума и максимума функции называются ее точками экстремума.

Необходимое условие экстремума функции. Если – точка экстремума функции то или не существует, т.е. – критическая точка этой функции.

Достаточные условия экстремума непрерывной функции.

1) Если функция дифференцируема в некоторой окрестности критической точки за исключением, быть может, самой этой точки, и ее производная слева от этой точки положительная, а справа – отрицательная, то точка является точкой максимума; если производная слева от точки отрицательная, а справа – положительная, то точка является точкой минимума; если производная слева и справа от точки имеет одинаковый знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.

2) Если в критической точке вторая производная отлична от нулю, то в этой точке функция имеет максимум при и минимум при

Пример.

Найти интервалы монотонности и точки экстремума для функции

Решение.

Находим производную и приравниваем ее нулю. Решая получившееся уравнение получаем Следовательно, критическими точками (с учетом тех точек, где производная не определена) являются: Область определения разбивается на два интервала монотонности: и Так как при и при то убывает на интервале и возрастает на интервале а в точке достигает минимума