Направление выпуклости и точки перегиба

 

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , если дуга кривой на этом интервале расположена выше касательной, проведенной к графику функции в любой точке

Если же на интервале всякая касательная располагается выше дуги кривой, то график дифференцируемой функции на этом интервале называется выпуклым вверх.

На рис. 6 изображены графики выпуклых вниз (слева) и вверх (справа) функций.

 

Если функция дважды дифференцируема на и (), то ее график является выпуклым вниз (вверх) на .

Точки, в которых направление выпуклости меняется на противоположное, называются точками перегиба.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки в которой или не существует. Если слева и справа от точки производная имеет противоположные знаки, то — точка перегиба.

 

Пример.

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

Решение.

Находим первую производную затем вторую производную и приравниваем ее к нулю. Получаем, что Следовательно, имеем два интервала выпуклости и Исследуя знак второй производной на каждом из этих интервалов, получаем, что график функции является выпуклым вверх на и выпуклым вниз на Следовательно, точка является точкой перегиба.