Построение графиков функций

 

Исследование функций и построение их графиков можно проводить по следующей схеме.

1. Найти область определения функции.

2. Определить четность или нечетность данной функции, её периодичность. Если рассматриваемая функция четная или нечетная, то ее достаточно исследовать при положительных значениях аргумента из области ее определения и принять во внимание, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной – относительно начала координат. Если рассматриваемая функция периодична, то её достаточно исследовать на одном периоде.

3. Непрерывность, классификация точек разрыва функции.

4. Нули функции. Интервалы знакопостоянства.

5. Определить интервалы монотонности функции, найти точки экстремума функции.

6. Исследовать функцию на выпуклость.

7. Найти асимптоты функции (наклонные, горизонтальные, вертикальные).

8. Построить таблицу. Для построения таблицы всю область определения разбиваем на промежутки нулями производной данной функции первого и второго порядка. Далее, на каждом из получившихся интервалов определяем их знак.

9. Построить график функции.

10. Найти область значения функции.

 

Пример.Исследовать функцию и построить график функции .

Решение.

1. Областью определения данной функции является множество .

2. Данная функция ни четна, ни нечетна, не периодическая, т.е. общего вида.

3. Функция разрывная в точке , причем разрыв второго рода, так как .

4. Функция равна 0 при и при . Заметим, что при она отрицательна, а при – положительна.

5. . Нулями производной первого порядка являются точки и . Производная первого порядка положительна при и отрицательна при .

6. . Нетрудно установить, что производная второго порядка в нуль не обращается, положительна при и отрицательна при .

7. ,

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Так как , то прямая является вертикальной асимптотой.

8.

	+		–		–		+
	–		–		+		+
		max				min

Найдем максимальное и минимальное значение функции

.

9.

 

Рис. 7

10. Для нахождения области значения функции необходимо найти проекцию построенного графика на ось Oy. В данном случае областью значения является следующее множество .

Пример.Исследовать функцию и построить график функции .

Решение.

1. Для нахождения области определения данной функции достаточно решить следующую систему неравенств . Следовательно, областью определения данной функции является множество .

2. Данная функция ни четна, ни нечетна, не периодическая, т.е. общего вида.

3. Функция является непрерывной на области определения.

4. Функция равна 0 при , положительна при и отрицательна при .

5. . Решением уравнения является .

6. . Решением уравнения является .

7. Так как и , то прямая является горизонтальной асимптотой. А так как , то прямая является вертикальной асимптотой.

 

 

8.

	+		–		–
	–		–		+
		max

 

9.

 

Рис. 8

 

10. Областью значений данной функции является множество .

Пример.Исследовать функцию и построить её график.

Решение.

1. Областью определения данной функции является множество .

2. Данная функция является нечетной, так как . Таким образом, достаточно её исследовать на множестве .

3. Функция является непрерывной на области определения.

4. Функция равна 0 при , положительна при и отрицательна при .

5. . Решениями уравнения являются точки .

6. . Решениями уравнения являются точки .

7. Так как , а , то наклонной и горизонтальной асимптоты нет. А так как , то прямые и являются вертикальными асимптотами.

 

 

8.

		–		–		+		+
		–		+		+		–
					min

 

9. По таблице, с учетом симметричности относительно начала координат строим график функции

 

 

Рис. 9

10. Областью значения заданной функции является множество .