Частной производной по переменной х от функции называется предел отношения частного приращения этой функции по переменной х к этому приращению, когда последнее стремится к нулю:
.
Частная производная по х есть обычная производная от функции , которая рассматривается как функция только от переменной х, при фиксированном значении переменной у.
Аналогично можно определить производную по переменной у:
.
Пример. Найти, если .
Решение. Так как производная по переменной х вычисляется при неизменном y, то =. Аналогично .
Функции , называют частными производными первого порядка.
Эти функции тоже могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они обозначаются следующим образом: =, , ,
.
Пример. Найти частные производные второго порядка функции .
Решение. Так как , и , то ,
, , .
Заметим, что . Это равенство всегда выполняется, если частные производные второго порядка непрерывны.