Обратная матрица

Для квадратной матрицы А порядка n можно определить такую матрицу Х порядка n, что ХА = АХ = Е, где Е – единичная матрица порядка n.

Матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Следующие условия являются необходимыми и достаточными, чтобы у матрицы была определена обратная матрица:

а) n=m;

б) определитель матрицы А не равняется нулю:

Следующие преобразования строк матрицы называются элементарными:

а) умножение любой строки на число, отличное от нуля;

б) прибавление к строке другой строки, домноженной на любое число;

в) перестановка строк;

г) отбрасывание нулевой строки.

 

Для нахождения обратной матрицы А^-1 применяется следующее правило:

а) выписывается матрица

(2.1)

б) с помощью элементарных преобразований над строками матрицы (2.1) превращают ее левую половину в единичную матрицу. Тогда ее правая половина превращается в обратную к ней матрицу А^-1.

 

Примеры.

а) Для матрицы найдем обратную.

По приведенному выше правилу получаем:

 

Итак, обратная матрица А^-1 равна

 

б) Решим матричное уравнение ХА + В = С, где

Умножим уравнение справа (порядок важен) на матрицу А^-1. Тогда

ХАА^-1 + ВА^-1 = СА^-1. Так как АА^-1 = Е, то ХЕ + ВА^-1 = СА^-1 или

= СА^-1- - ВА^-1 =(С-В)А^-1.