Теоретичні відомості

Підбор формул за експериментальними даними називають підбором емпіричних формул. Підбор емпіричних формул складається з двох етапів:

1. З'ясування загального вигляду формули;

2. Визначення найкращих її параметрів.

З'ясування загального вигляду формули.

Для визначення загального вигляду формули за експериментальними даними на координатній площині будується найбільш правдоподібна, так звана, згладжувальна крива. Для визначення конкретного вигляду залежності на заданому відрізку зміни незалежної змінної вибираємо на графіку дві, досить надійні, і, по можливості, далеко віддалені одна від другої точки. Наприклад, нехай це точки (x₁, y₁) і (x_n, y_n). Обчислюємо

х_ар = (x₁+x_n)/2, х_геом = , х_гарм = 2×x₁×x_n×(x₁+x_n),

y_ар = (y₁+y₂)/2, y_геом = _, y_гарм = 2×y₁×y_n / (y₁+y_n ).

З графіка функції знайдемо

y₁ = f(x_ар), y₂ = f(x_геом), y₃ = f(x_гарм).

Обчислимо

, , ,

.

Мінімальному значенню e_i відповідає i-й вигляд аналітичної залежності y = f_емп (x, a, b) :

y = ax + b, y = ab^x, y = 1/(ax + b), y = aln(x) + b,

y = ax^b, y = a +b/x, y = x/(ax + b).

Визначення найкращих параметрів емпіричної формули.

Визначення найкращих параметрів емпіричної формули виконується методом найменших квадратів.

Відповідно до методу найменших квадратів найкращими параметрами емпіричної формули вважаються ті, для яких сума квадратів відхилень буде мінімальною

Узявши часткові похідні s за невідомими параметрами a і b, одержуємо так звану нормальну системудля визначення коефіцієнтів a і b

розв’язок якої, як правило, досить складний.

Якщо емпірична функція y = f_емп (x, a, b) лінійна, нормальна система є системою двох лінійних рівнянь з невідомими a, b:

Лінеаризація функцій.

y = ab^x, ln(y) = ln(a) +x×ln(b), Y = Ax + B,

де Y_i = ln(y_i), A = ln(b), B = ln(a). Визначивши А і В, знайдемо а = e^В, b = e^А.

y = 1/(ax + b), 1/y = ax +b, Y = ax +b, де Y_i = 1/y_i.

y = aln(x) + b, Y = aX + b, де Y_i = y_i, X_i = ln(x_i).

y = ax^b, ln(y) = ln(a) + bln(x), Y = Ax + B, де Y_i = ln(y_i), X_i = ln(x_i), A = b,

B = ln(a). Визначивши А і В, знайдемо а = е^В, b = A.

y = a + b/x, Y = AX + b, де Y_i = y_i, X_i = 1/x_i A = b, B = a. Визначивши А і В, знайдемо а = B, b = A.

y = x/(ax + b), 1/y = a + b/x, Y = AX + B, де Y_i = 1/x_i, X_i = 1/x_i, A = b,

B = a. Визначивши А і В, знайдемо а = B, b = A.