До виконання самостійної роботи

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГІЙ ТА ДИЗАЙНУ

 

ОБЧИСЛЮВАЛЬНА МАТЕМАТИКА

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання самостійної роботи

для бакалаврів напрямку “Електроніка” (шифр 6.0908) денної форми навчання

(Короткі теоретичні відомості, варіанти завдань, приклади виконання завдань)

 

 

Частина 1

Похибки обчислень. Розв’язок рівнянь та систем рівнянь

 

 

КИЇВ КНУТД 2004

  Обчислювальна математика: Методичні вказівкидо виконання самостійної роботи… у 3-х ч.: Частина 1. Похибки обчислень. Розв’язок рівнянь та систем рівнянь. /Упор.: Дегтярев С.Б., Дроменко Б.П.–…

ОЦІНКА ПОХИБОК НАБЛИЖЕНИХ ОБЧИСЛЕНЬ

Завдання: Визначити абсолютну і відносну похибки результатів обчислень, враховуючи, що вихідні величини є наближеними і у їхньому записі всі цифри… 1. Обчислити величину F по формулі: 2. Обчислити площу круга S, якщо його радіус дорівнює R.

H

A b c C

5. Обчислення робити покроково і за загальною формулою для похибок.

Підготовка до заняття

При підготовці до заняття повторити тему ”Наближені обчислення і елементи теорії похибок”. Особливо увагу варто звернути на основні визначення, різновиди похибок і причини їхнього виникнення, правила оцінки похибок результатів обчислень.

Методичні вказівки

У даній роботі пропонується оцінити похибки результатів обчислень. При обчисленні похибок враховувати тільки похибки, обумовлені похибкою початкових даних.

Роботу виконувати в такій послідовності:

1. Записати значення абсолютних і відносних похибок для усіх початкових даних, враховуючи, що усі вони є наближеними величинами і у їхньому записі всі цифри вірні.

2. Записати результати обчислень і їхні похибки.

 

Теоретичні відомості

Абсолютною похибкою Δ наближеного числа а називається абсолютна величина різниці між відповідним точним числом А і його наближеним значенням,… Граничною абсолютною похибкою наближеного числа а називають усяке число, яке не менше абсолютної похибки цього…

Варіанти завдань

Приклад виконання завдання

Покрокове обчислення похибок № Дія Значення Абсолютна похибка …

НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ РІВНЯНЬ

Завдання: 1. Відокремити найменший за абсолютною величиною корінь рівняння f(x) = 0 і… 2. Уточнити корінь рівняння методом дихотомії (проб, половинного розподілу) з точністю e = 0,1; e = 0,01; e =…

Теоретичні відомості

відділення кореня, тобто встановлення таких інтервалів (a, b), у яких міститься один корінь рівняння ; уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до заданого ступеня… Графічне відділення коренів.

Варіанти завдань

Приклад виконання завдання

[-2; 2 ] та уточнити всі корені рівняння методом дихотомії з точністю e = 0,1; e = 0,01; e = 0,001. Розв’язок.

НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК СИСТЕМИ ДВОХ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ

Завдання: У смузі a £ х £ b розв’язати з точністю e = 0,001 систему рівнянь 1. Відокремити корені системи з точністю e = 0,1.

Варіанти завдань

Приклад виконання завдання

У смузі методом простої ітерації обчислити з точністю корені системи Розв’язок.

НАБЛИЖЕНИЙ РОЗВ’ЯЗОК СИСТЕМИ

ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ

Завдання: 1. Методом Жордана-Гаусса знайти всі загальні і базисні розв’язки системи із… 2. Розв’язати систему трьох рівнянь з трьома невідомими методом Жордана-Гаусса і з використанням засобу “Поиск…

Теоретичні відомості

Розв’язком СЛАР називається сукупність n чисел яка при підстановці цих чисел замість невідомих кожне з рівнянь перетворить у тотожність.

Варіанти завдань.

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Приклад виконання завдання

Розв’язок. Спочатку знайдемо який-небудь базисний та загальний розв’язок. … Вилучаємо x1 з усіх рівнянь, крім першого (вводимо в базис x1). Базисні змінні х1 х2 …

Дегтярьов Станіслав Борисович

Дроменко Борис Порфірійович

ОБЧИСЛЮВАЛЬНА МАТЕМАТИКА

 

 

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

до виконання самостійної роботи

для бакалаврів напрямку “Електроніка” (шифр 6.0908)

(Короткі теоретичні відомості, варіанти завдань, приклади виконання завдань)

 

Частина 1

Похибки обчислень. Розв’язок рівнянь та систем рівнянь.

 

 

Редактор

Коректор

 

 

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 5

 

МАТЕМАТИЧНА ОБРОБКА ЕКСПЕРЕМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ

 

Мета роботи: Освоїти методику та набути практичних навичок підбору емпіричних формул.

Завдання. За експериментальними даними (х_і, y_i), і = :

1. Визначити вид емпіричної залежності y = f_емп (x, a, b).

2. Методом найменших квадратів визначити значення параметрів а, b.

3. Побудувати графік функції y_емп = f (x, a, b).

4. Знайти суму квадратів відхилень

 

Теоретичні відомості

1. З'ясування загального вигляду формули; 2. Визначення найкращих її параметрів. З'ясування загального вигляду формули.

Варіанти завдань

   

Приклад виконання завдання

  Розв’язок. 1. Визначення вигляду залежності (емпіричної формули).

Теоретичні відомості

необхідно: 1. Привести математичну модель ЗЛП до канонічного вигляду. 2. Визначити початковий допустимий базисний розв’язок ЗЛП.

Приведення математичної моделі ЗЛП до канонічної форми.

1. Обмеження записані у вигляді рівнянь; 2. Праві частини обмежень невід’ємні; 3. На змінні накладені вимоги невід’ємності.

Знаходження допустимого базисного розв’язку (ДБР) задачі лінійного програмування.

Визначення. Допустимим базисним розв’язком ЗЛП називається невід’ємний… Якщо у вихiднiй моделi ЗЛП всi обмеження заданi у виглядi нерiвностей £ при невiд’ємних правих частинах, то при…

Заповнення першої симплекс-таблиці

1-ша симплекс-таблиця. і хбаз сбаз с1 … сr … сm сm+1 … сk … …   Значенння граф (стовбчикiв) симплекс таблицi:

Перевірка отриманого ДБР на оптимальність

В цьому випадку ДБР є оптимальний розв'язок, а значення – максимальне. При розв’язуванні задачі мінімізації план оптимальний, якщо в індексному рядку… В цьому випадку ДБР є оптимальний розв'язок, а значення – мінімальне.

Перехід до наступної ітерації

В базис вводиться змінна з мінімальним від'ємним індексним елеменом . Нехай – в базис вводимо xk. З базису виводиться змінна з мінімальним симплексним відношенням

Варіанти завдань

  1. 2.

Приклад виконання завдання.

z= 3x1 + x2 ® max Розв’язок.

НАБЛИЖЕНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗКУ ЗВИЧАЙНИХ

ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ

Завдання: 1. Розв’язати звичайне диференціальне рівняння першого порядку методом Эйлера… 2. Розв’язати звичайне диференціальне рівняння 1-го порядку методом Рунге-Кутта на відрізку [а, b] із кроком при…

Теоретичні відомості

Для диференціального рівняння n-го порядку задача Коші полягає у відшуканні функції яка задовольняє цьому рівнянню і початковим умовам де – задані числа.

Варіанти завдань

 

Приклад виконання завдання

y¢ = y + x, y(0,3) = 0,5 на відрізку [a, b], прийнявши крок h = 0,05.   i x y(i) f(x, y) = x + y ∆y… Приклад2. Методом Рунге-Кутта розв’язати звичайне диференціальне рівняння y¢ = y + x, y(0,3) = 0,5 на відрізку…

НАБЛИЖЕНЕ ОБЧИСЛЕННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

Завдання: 1. Обчислити визначений інтеграл за формулою трапецій, розбивши проміжок… 2. Обчислити визначений інтеграл за формулою парабол (Симпсона), розбивши проміжок інтегрування спочатку на 4, а потім…

Теоретичні відомості

Однак, у багатьох випадках, первісна функція F(x) не може бути знайдена аналітичним шляхом. Крім того, на практиці підінтегральна функція f(x) часто… У цих випадках застосовуються чисельні методи інтегрування. Формула трапецій

Варіанти завдань

 

Приклад виконання завдання.

  Розбиваємо проміжок інтегрування на 4 рівні частини (n = 4). Обчислення подаємо у вигляді таблиці.