Теоретичні відомості

Наближене знаходження дійсних коренів рівняння f(х) = 0 складається із 2-х етапів:

відділення кореня, тобто встановлення таких інтервалів (a, b), у яких міститься один корінь рівняння ;

уточнення наближених коренів, тобто доведення їх до заданого ступеня точності.

Графічне відділення коренів.

Дійсні корені рівняння f(х) = 0 приблизно можна визначити як абсциси точок перетинання графіка функції y = f(х) з віссю х. На практиці часто буває корисно рівняння f(x) = 0 замінити рівносильним йому рівнянням f₁(х) = f₂(х), де функції f₁(х) і f₂(х) більш прості, чим функція f(х). Тоді, побудувавши графіки функцій у₁ = f₁(х) і y₂ = f₂(х), шукані корені одержимо як абсциси точок перетинання цих графіків. Перевірка правильності відділення коренів заснована на використанні теореми Больцано-Коші.

Теорема. Якщо неперервна функція f(x) приймає значення різних знаків на кінцях відрізка [a; b], тобто f(a)×f(b)<0, то усередині цього відрізка міститься принаймні один корінь рівняння f(х) = 0.

Корінь буде єдиний, якщо похідна існує і зберігає постійний знак в середині інтервалу (a, b).

Корені відділені правильно, якщо f(a)×f(b)<0.

Метод проб (дихотомії, половинного розподілу).

Нехай дано рівняння f(х) = 0, де f(х) неперервна, монотонна функція на відрізку [a, b], крім того, f(а)×f(b) < 0. Для уточнення кореня обчислюється значення f(х) у середній точці відрізка [a; b] – точці с = (a +b)/2. Якщо f(с) = 0, то с – корінь рівняння. Якщо f(с) 0, то вибираємо той із проміжків (a, c) чи (c, b), на кінцях якого функція f(x) має протилежні знаки. Процес розподілу проміжку на дві частини проводиться доти, поки не одержимо проміжок (а_n, b_n), довжина якого не перевищує 2e (e – задана точність обчислення кореня). Корінь рівняння дорівнює e.

Метод Ньютона (метод дотичних).

Якщо неперервні і зберігають знак на проміжку (a, b), то уточнення кореня виконується за рекурентною формулою

причому за х₀ приймається той кінець інтервалу, у якому знак функції f(x) збігається зі знаком другої похідної .

Метод ітерацій.

Для уточнення кореня методом ітерації рівняння f(x) = 0 еквівалентним чином перетворюється до вигляду x = j(x). Ітераційний процес уточнення кореня сходиться, якщо на інтервалі (а; b) |j¢(x)|<1.

Перетворення рівняння f(x) = 0 до вигляду x = j(x):

f (x) = 0 c×f(x) = 0 x = x + c×f(x), тобто j(x) = x + c×f(x),

Прирівнюючи j¢(x) 0,5 чи – 0,5, одержуємо

чи , де .

Рекурентна формула уточнення коренів:

де .