Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

1. Достаточное условие монотонности.Если функция непрерывна на отрезке и имеет в каждой точке интервала положительную производную, то эта функция возрастаетна отрезке

Если функция непрерывна на отрезке и имеет в каждой точке интервала отрицательную производную, то эта функция убывает на отрезке

Запишем достаточное условие монотонности в таблицу

Знак при	Поведение функции на	Обозначение
+	возрастает
-	убывает

 

(3.1)

 

 

2. Точка в которой функция непрерывна и при этом односторонние производные неравны.

называются угловыми.

В угловых точках функция не имеет производной, в этих точках нарушается гладкость графика функции

 

 

Рис. 1

На рисунке 1 изображен график функции точки и являются угловыми.

3. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими.

4. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и имеет производную при причем при переходе через эту точку производная меняет знак. Тогда точка является точкой максимума (минимума), если при увеличении аргумента знак производной меняется в этой точке с положительного на отрицательный (с отрицательного на положительный).

 

Пусть . Достаточное условие экстремума изобразим на рисунках:

знак (3.2);

 

- точка (точка максимума)

Рис. 2

знак (3.3).

 

- точка (точка минимума)

Рис. 3