Правило дифференцирования. Таблица дифференцирования основных элементарных функций. 7

 

ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

ТЕМА «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Глава 1. Производная 5

§ 1 Определение производной. 5

§ 2. Правило дифференцирования. Таблица дифференцирования основных элементарных функций. 7

§ 3.Геометрическое, механическое и экономическое приложения производной. 16

§ 4.Задачи для самостоятельной работы. 19

Глава 2 Приложения производной.21

§ 1.Дифференциал функций. 21

§ 2.Правило Лопиталя. 23

§ 3.Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. 24

§ 4.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. 28

§ 5.Выпуклость графика функции. Точки перегиба. 29

§ 6.Исследование функций и построение их графиков. 31

§ 7.Задачи для самостоятельной работы. 36

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Данная работа предназначена для студентов экономических специальностей ТГУСа; может быть полезна для всех категорий студентов, изучающих курс «Математика». Рассматривается раздел «Дифференциальное исчисление». В данной части излагаются темы: производная, приложение производной.

В каждом параграфе изложен теоретический материал, содержатся типовые задачи с решениями и для практических заданий, позволяющие достаточно полно охватить учебный материал. В последних параграфах каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения. В работе имеется подборка заданий для расчетно-графической работы по разделу «Дифференциальное исчисление». Кроме того, излагается тестовый материал для самостоятельной проверки усвоения знаний.

Пособие должно помочь студенту для самостоятельного изучения материала, когда он что-то не усвоил на практических занятиях, какие-то занятия пропустил.

Нумерация задач единая по каждой главе. Конец решения задачи обозначается знаком ►.

 

Глава 1. ПРОИЗВОДНАЯ

Определение производной.

Производной функциив точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю… Производную функции обозначают одним из символов . Производная функции в точке может быть вычислена по одной из формул:

Функция, имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции в точке обозначается одним из символов

3.Если функция дифференцируема в точке (или на множестве ), то она в этой точке (или на множестве ) непрерывна. Если функция непрерывна в точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке.

1.1. Используя определениепроизводной,найти производную функции .

Решение. Придавая аргументу приращение , найдем приращение функции:

.

Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента при :

.

Таким образом: . ►

1.2.Доказать, что функциянепрерывна,но не дифференцируема в точке .

Решение.

1. Функция определена на всей числовой оси,причем. Предел функции при , стремящимся к нулю, равен значению функции в нуле:. Поэтому функция непрерывна в точке

2.Составим отношение

Производная функции в точке

.

Предел зависит от знака :

,

Тогда . Поэтому не существует и функции не дифференцируема в точке ►

1.3.Доказать, что функция не дифференцируема в точке .

Решение. Функция определена в любой окрестности точки . Производная функции

т.е. функция не является дифференцируемой в точке . ►

Используя определения производной, найти производную функций;

1.4. 1.6.

1.5. 1.7.

Доказать, что функция непрерывна и дифференцируема при

1.8. 1.9.

 

 

Правила дифференцирования

Таблица дифференцирования основных элементарных функций

Дифференцирование явных функций.

-постоянная, - дифференцируемые функции: (2.1) (2.2)

Производная сложной функции.

Если и дифференцируемы, то (2.5) Логарифмическая производная.Логарифмическая производная используется при… .

Таблица дифференцирования основных элементарных функций

(2.7)

(2.8)

(2.9) (используем формулы

(2.10)

( 2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

(2.16)

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

 

Дифференцирование неявной функции.

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной по достаточно продифференцировать это уравнение по , рассматривая при этом…

Дифференцирование функций, заданных параметрически.

где - вспомогательная переменная, называемая параметром. Не выражая явноот ,… (2.22)

Производные высших порядков.

(2.23) Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.… .

Геометрическое, механическое и экономическое приложения производной

1. Геометрический смысл производной.Если кривая задана уравнением , то есть угловой коэффициент касательной к кривой в точке .

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

, (3.1)

а уравнение нормали

(3.2)

Механический смысл производной.Пусть вдоль некоторой прямой движется точка по закону , где - пройденный путь, - время. Скоростьизменения пути в момент равна . Ускорениеточки в момент равно.

3. Экономический смысл производной.Пусть выражает объем производимой продукции за время . Производная объема произведенной продукции по времени есть производительность трудав момент .

Эластичностьфункции определяется с помощью соотношения

(3.3)

Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считается эластичным, если - нейтральным, если - неэластичным относительно - цены (или дохода).

3.1.Составить уравнение касательной и нормали в точке к кривой, заданной неявно .

Решение. Задана точка , в которой проводится касательная к кривой. Тогда, . Найдем производную неявно заданной функции:

,

,

.

Определим производную в заданной точке:

.

Используем уравнение касательной (3.1)

,

Используем уравнение нормали (3.2)

. ►

3.2.Составить уравнение касательной к графику функции , параллельной прямой .

Решение. Угловой коэффициент данной прямой . Поэтому точка кривой , в которой касательная параллельна данной прямой, находится из уравнения . Тогда , откуда . Определяются значения функции в найденных точках: , . Уравнение касательной к кривой в точкеимеет вид

,

Уравнение касательной к кривой в точке имеет вид:

, . ►

3.3.Тело движется прямолинейно по закону . Определить скорость и ускорения тела в момент времени

Решение. Найдем первую и вторую производную функции :

, .

Находим скорость движения тела в момент времени :

.

Определим ускорение движения тела в момент времени

. ►

2.4.Объем производства описывается уравнением . Вычислить производительность труда в момент

Решение. Определим производную в момент :

, .

Производительность труда в момент равна . ►

2.5. Определить эластичность функции спроса , где - цена единицы товара. Выяснить при каких значениях цены спрос является эластичным, нейтральным и неэластичным.

Решение. По формуле (3.3) определим эластичность .

Спрос нейтрален, если . Решая это уравнение, имеем . Решение проводится при условии . При, выполняется неравенство и спрос является эластичным при выполняется неравенство и спрос уже будет неэластичным. ►

Составить уравнение касательной и нормали к кривой в указанных точках:

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10. Издержки производства зависят от объема продукции и вычисляются по формуле . Найти предельные издержки .

2.11.Найти эластичность функций ,

 

Задачи для самостоятельной работы.

1.1.; 1.3.; 1.2.; 1.4.; 2. Используя основные правила дифференцирования и таблицу дифференцирования основных элементарных функций, найти…

ГЛАВА 2. ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Дифференциалом первого порядка функции называется главная,линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на… (1.1) Если , то , поэтому для дифференциал обычно записывается в виде

ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

2. Правило Лопиталя можно при раскрытии неопределенности : или

Возрастание и убывание функции. Экстремум функции

Если функция непрерывна на отрезке и имеет в каждой точке интервала отрицательную производную, то эта функция убывает на отрезке Запишем достаточное условие монотонности в таблицу Знак при …  

Второе достаточное условие экстремума.

3.1. Исследовать функцию на монотонность Решение. Областью определения функции является отрезок На интервале (0, 4)… Определим знак производной:

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

2. Если дифференцируемая на интервале функция имеет единственную точку экстремума, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее значения… 4.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке . Решение. Производная функции обращается в ноль в точках которые лежат на рассматриваемом отрезке Найдем значения в…

Выпуклость графика функции. Точки перегиба

Изобразим графики выпуклых вверх и вниз функций: Выпуклость вверх Выпуклость вниз            

Достаточное условие выпуклости вверх (вниз).

3. Если в точке график функции выпуклость вверх меняет на выпуклость вниз или наоборот, то точка называется точкой перегиба. На графиках укажем точки перегиба:  

Необходимое условие точки перегиба.

Точки графика, в которых вторая производная равна нулю, или не существует,…

Достаточное условие точки перегиба.

Запишем схематически достаточное условие точки перегиба:             знак знак

Исследование функций и построение их графиков

1. Найти область определения функции. 2. Исследовать функцию на четность. 3. Исследовать функцию на периодичность.

Задачи для самостоятельной работы

7.1. 7.2. 7.3. 7.4. Найти приближенные значения: