Достаточное условие точки перегиба.

Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки и при переходе через эту точку вторая производная меняет знак. Тогда точка является точкой перегиба графика функции

Запишем схематически достаточное условие точки перегиба:

знак знак

поведение поведение

графика y графика y

 

- точка перегиба.

5.1. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции

Решение. Имеем функция дважды дифференцируема на всей числовой оси. Определим критические точки второго рода: т.е.

Для определения знака второй производной проведем разложения

Определим знак второй производной:

 

 

знак

поведение графика

 

На множестве график функции выпуклый вверх. На множестве график функции выпуклый вниз. Точки являются точками перегиба. ►

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций:

5.2.

5.3.

5.4.