Производной -го порядка (или -ой производной) называется производная от порядка:
(2.23)
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Обозначения производных высших порядков функции
.
2.1.Найти производные функций:
а);
б) ;
в) ;
г) ;
д) .
Решение.
а) Используем правило (2.2), (2.1), и формулу (2.9) получим
.
б) Используя формулы (2.2), (2.9), (2.10), (2.7) имеем
в) Используя правило (2.3), и формулы (2.11), (2.13) получаем
г) При вычислении производной функции, равной произведению более двух функций, ее представляют в виде произведения двух функций :
Дважды используем правило (2.3):
Используем формулы (2.10), (2.15), (2.9):
д) Используется правило (2.4), (2.2), (2.1) и формулы (2.19) (2.7), (2.8). Имеем
. ►
2.2.Найти производные функций:
а); б) ;
в) ; г) .
Решение.
В этих примерах рассматриваются производные сложных функций.
а) Введем функцию , тогда .
Используем правило (2.5), и формулу (2.14):.
.
б) Введем функцию , тогда .
Используем правило (2.5), и формулы (2.14), (2,9):
в) Введем функцию , тогда . Используем правило (2.5) и формулы (2.10), (2.17):
.
г) Правило вычисления производной сложной функции используется дважды. Введем функцию , тогда и используем формулы (2.5) и (2.16):
Пусть , тогда
Используем правило (2.5), и формулу (2.12):
Тогда ►
2.3.Вывести формулу вычисления производной функции , где ,
- постоянная.
Использовать полученную формулу при вычислении производной функции .
Решение.
1) Можно использовать формулу (2.4) или (2.5). Согласно формуле (2.9) имеем .
Тогда .Поэтому
(2.24)
2) Введем , тогда
Используем формулу (2.24) и (2.18):
►
2.4.Найти производные функций
а);
б)
Решение.
а) Основание и показатель степени являются функциями от аргумента .
Используем метод логарифмического дифференцирования:
,
,
;
;
б) Производная вычисляется аналогично примеру. а) Проведем метод логарифмического дифференцирования:
;
;
;
;
;
;
. ►
2.5.Найти производную функции
в точке .
Решение.
В заданной функции является постоянной, а - переменной. Используем формулу
, тогда
Имеем . ►
2.6.Найти производнуюнеявной функции
Решение.
Возьмем производную от левой и правой частей тождества, учитывая, что зависит от переменной :
,
,
,
,
.
Выразим из уравнения:
. ►
2.7.Найти производные , функции, заданной параметрически.
Решение.
Найдем производные от заданных функций по переменной ;
,
Используем формулу (2.22) для нахождения производной функции по :
:
Найденная производная является функцией от переменной . Получили новую функцию, заданную параметрически:
Используем формулу (2.22). Тогда
:
Найдем производную от функции по переменной :
Имеем
. ►
2.8.Найти производную 3-го порядка функции
Решение. Последовательно дифференцируем функцию:
;
;
. ►
2.9.Найти производную - го порядка функции .
Решение. Для некоторых функций можно вывести формулу -ой производной.
Проводится последовательное дифференцирование функции:
;
;
. ►
Найти производные функций:
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24.
Найти производные от неявной функции;
2.25.
2.26.
2.27.
2.28.
Найти производные функций заданных параметрически:
2.29. 2.30.
2.31. 2.32.
Найти производные второго порядка функций:
2.34. 2.35.
2.36. 2.37.
Найти производные -го порядка функций:
2.38. 2.39.
2.40.Показать, что функцияудовлетворяет уравнению