1. Если функция имеет производную в точке , то полное приращение функции можно записать в виде , где - бесконечно малая функция при , т.е. .
Дифференциалом первого порядка функции называется главная,линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
(1.1)
Если , то , поэтому для дифференциал обычно записывается в виде
(1.2)
При достаточно малых приращениях аргумента дифференциал функции мало отличается от полного приращения: .
Это свойство используется при вычислении приближенных значений функций:
(1.3)
2. Дифференциалом -го порядка называется дифференциал от дифференциала
-го порядка.
(1.4)
Имеет место соотношение
(1.5)
1.1. Найти дифференциал функции .
Решение. Найдем производную функции
Обратимся к формуле (1.2)
. ►
1.2. Вычислить приближенно
Решение. Требуется найти приближенное значение функции в точке . Ближайшей точкой к значению, , в которой значение функции вычисляется легко, является .
Найдем приращение независимой переменной;
.
Найдем значение функции и ее производной в точке :
Используем формулу (1.3).
,
,
. ►
1.3. Найти дифференциал третьего порядка от функции
Решение. Используем формулу (1.5)
;
;
. ►
Вычислить приближенные значения:
1.4.; 1.5.; 1.6..
Найти дифференциалы функций:
1.7.;
1.8..
Найти дифференциалы второго порядка функций:
1.9.; 1.10.