ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

1. Если функция имеет производную в точке , то полное приращение функции можно записать в виде , где - бесконечно малая функция при , т.е. .

Дифференциалом первого порядка функции называется главная,линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

(1.1)

Если , то , поэтому для дифференциал обычно записывается в виде

(1.2)

При достаточно малых приращениях аргумента дифференциал функции мало отличается от полного приращения: .

Это свойство используется при вычислении приближенных значений функций:

(1.3)

2. Дифференциалом -го порядка называется дифференциал от дифференциала

-го порядка.

(1.4)

Имеет место соотношение

(1.5)

1.1. Найти дифференциал функции .

Решение. Найдем производную функции

Обратимся к формуле (1.2)

. ►

1.2. Вычислить приближенно

Решение. Требуется найти приближенное значение функции в точке . Ближайшей точкой к значению, , в которой значение функции вычисляется легко, является .

Найдем приращение независимой переменной;

.

Найдем значение функции и ее производной в точке :

Используем формулу (1.3).

,

,

. ►

1.3. Найти дифференциал третьего порядка от функции

Решение. Используем формулу (1.5)

;

;

. ►

Вычислить приближенные значения:

1.4.; 1.5.; 1.6..

Найти дифференциалы функций:

1.7.;

1.8..

Найти дифференциалы второго порядка функций:

1.9.; 1.10.