Обозначение. .
Замечание. Так как 
− абелева группа, то существует единственный нейтральный (нулевой) элемент, обозначаемый 
, для каждого вектора 
существует единственный симметричный (противоположенный) элемент, обозначаемый 
, и для 
уравнение 
имеет единственное решение 
, называемое разностью 
и 
.
Свойства линейного пространства.
1) 
выполняется 
.
2) 
выполняется 
.
3) 
выполняется 
.
4) 
выполняется 
.
5) 
.
6) 
.
7) 
.
Доказательство.
1) Так как 
в силу г) 
имеем 
. Аналогично, имеем 
.
2) В силу г) имеем 
в силу разности векторов 
.
3) Следует из 2) при 
.
4) Доказывается аналогично.
5) Если 
и 
, то умножая это равенство на 
получаем: 
и 
. Т.о., если , то 
. Обратное утверждение следует из 1).
6) Из 
.
7) Аналогично. ■