Тема 4. Линейное пространство

Тема 4. Линейное пространство

1^о. Определение и простейшие свойства

Пусть даны поле с элементами, называемыми скалярами и обозначаемыми малыми греческими буквами , , , … и множество элементов, называемых векторами и обозначаемых латинскими буквами . Введем на алгебраическую операцию сложения, которая каждой паре элементов ставит в соответствие третий элемент , называемый суммой и и обозначаемый , а также операцию умножения скаляра на вектора, котораяи ставится в соответствие , называемый произведением вектора на скаляр и обозначаемый

Определение 1. Множество вместе с заданными на нем операциями сложения векторов и умножения вектора на скаляр называется линейным (векторным) пространством над полем , если удовлетворяются следующие аксиомы:

1) является абелевой группой;

2) Для любых и выполняются равенства:

а) Умножение на не изменяет , т.е. .

б) .

в) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения скаляров, т.е. .

г) Умножение вектора на скаляр дистрибутивно относительно сложения векторов, т.е. .

Обозначение. .

Свойства линейного пространства. 1) выполняется . 2) выполняется .

Примеры.

1) Если − поле и , то имеем − векторное пространство, называемое нулевым.

2) − векторное пространство комплексных чисел над полем вещественных чисел. − векторное пространство вещественных чисел над полем рациональных чисел.

3) Множество матриц размера образует векторное пространство .

4) Множество многочленов степени не выше n образует векторное пространство .

5) Множество непрерывных на функций образует векторное пространство .

6) – n-мерное координатное пространство (или арифметическое пространство), элементами которого являются упорядоченные наборы из n чисел: . Операции определены следующим образом:

;

.

Задача. Проверить выполнение аксиом векторного пространства.

2^о. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов

Это понятие является обобщением понятия линейной зависимости строк.

Определение 2. Линейной комбинацией векторов с коэффициентами называется выражение вида: .

Определение 3. Вектора называются линейно независимыми, если , из которых хотя бы одно отлично от нуля, т.е. линейная комбинация с этими является нулевым вектором V, т.е. . Вектора , не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми. Другими словами, называются линейно независимыми, если их линейная комбинация является нулевым элементом V лишь при условии, что

Теорема 1.

2) Если среди один элемент нулевой, то они линейно зависимы. 3) Если часть элементов множества линейно зависима, то и все элементы линейно…

Доказательство.

2. Если и – любое, например, линейно зависимы. 3. Если – линейно зависимы, то одновременно неравные нулю, так что и хотя бы… Пример. Рассмотрим линейное пространства и докажем, что n элементов из вида , ,…, линейно независимы, а добавление еще…

Свойства изоморфных пространств.

Доказательство: Если . 2. Если элементам соответствуют , то линейная комбинация векторов равна нулю… Доказательство следует из 1.

Как пример линейного пространства

1^о. Направленные отрезки.

Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.

Определение 1.Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.

Направленный отрезок обозначается или . На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце(см. рис.1)

Определение 2.Длиной направленного отрезка называется длина отрезка АВ.

Рис.1. Направленный отрезок АВ.

Определение 3.Направленные отрезки и называются сонаправленными (обозначается ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Направленные отрезки и называют противоположно направленными (пишут ), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.

Направленные отрезки и называются противоположными.

Каждую точку А пространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначается и называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.

Определение 4.Два направленных отрезка и считаются эквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).

Эквивалентность является отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:

1) отрезок эквивалентен сам себе;

2) если эквивалентен , то эквивалентен ;

3) если эквивалентен и эквивалентен , то эквивалентен .

 

Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.

Определение 5.Множество всех эквивалентных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).

Замечание. Напомним, что в средней школе вектор характеризуетпараллельный перенос.

Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина – длиной вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.

Поэтому часто будем пишут вектор , .

Определение 6.Вектор a такой, что называется единичным вектором или ортом. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором ; Его длина равна нулю, а направление не определено.

Определение 7.Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называются коллинеарными. Обозначают .

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.

Определение 8.Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной.

Пусть даны два вектора a и b. Из произвольной точки O пространства отложим и . Тогда есть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Покажем, что вектор не зависит от выбора точки O. Для этого выберем другую точку . Пусть , . Тогда – параллелограмм; аналогично, – параллелограмм – параллелограмм , т.е. они определяют один и тот же вектор.

Определение 9.Вектор называется суммой векторов и . Пишут: .

Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.

Свойства сложения векторов.

2. . 3. , т.к. . 4. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным , такой, что . Доказательство свойств может быть…

Свойства умножения вектора на число.

2) и вектора . 3) и вектора . 4) вектора .

Свойства проекции.

.      

Свойства скалярного произведения.

Действительно, (т.к. , т.е. четная функция, то ) . 2) Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора умноженной… Действительно, .

Построение вектора векторного произведения.

1. Через точку проведем плоскость . 2. Спроецируем на П точку . Получим вектор . 3. Далее повернем вектор по часовой стрелке на угол p/2 (если смотреть из конца вектора ) и получим вектор .

Свойства векторного произведения.

Доказательство: Пусть и Þ Þ т.к. , Þ Þ , т.е. ||. Пусть ||, тогда Þ Þ .

Вычисление векторного произведения в прямоугольных координатах

Þ очевидно, из коллинеарности. . Из этого следует, что . (см. рисунок).

Свойства смешанного произведения.

Доказательство: Отложим вектора , , из одной точки. Возможны две ситуации: a) Тройка , , – правая; б) Тройка , , – левая.  

Вычисление смешанного произведения в прямоугольных координатах.

Тогда . ,

Решение.

. Но

 

.

Двойное векторное произведение.

Выразим двойное векторное произведение через скалярное. Пусть Þ ^и ^. Тогда, в силу ^Þ лежит в плоскости векторов и… Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случае в обоих случаях). Тогда Þ , такое…