1. Векторное произведение двух не нулевых векторов равно нулю Û вектора–сомножители коллинеарны.
Доказательство:
Пусть и Þ Þ т.к. , Þ Þ , т.е. ||.
Пусть ||, тогда Þ Þ .
2. Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.
Доказательство:
Пусть и . На отрезках [OA] и [OB] построим параллелограмм.
.
3. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. .
Доказательство:
Легко видеть, что , т.к. вектора , , образуют правую тройку, то тройка , , – левая Þ т.е. вектора и – противоположно направлены. Следовательно, .
4. .
Докажем первое равенство.
1) В начале покажем равенство модулей.
т.к. , то .
.
2) Так как ||, то .
5. Покажем, что . Рассмотрим случай и .
Отсюда вытекает доказываемое свойство.
6. – дистрибутивность.
Если один из векторов нулевой – очевидно. Пусть , , – не нулевые. Для доказательства воспользуемся описанным ранее методом построения векторного произведения.
Выберем произвольную точку и отложим из нее вектора и . Из конца вектора построим вектор . Т.о., , , , .
1) Построим плоскость П^.
2) Спроецируем на плоскость П: получим .
3) Повернем по часовой стрелке на угол p¤2.
4) Умножим отрезки сторон на , получим треугольник подобный .
По построению, , , Þ т.к. ), то .