Пусть задана прямоугольная декартова система координат. Легко видеть, что для базисных векторов , , справедливо:
Þ очевидно, из коллинеарности.
. Из этого следует, что .
(см. рисунок).
Тогда для двух векторов
и .
Имеем:
Это равенство формально можно переписать в виде
.
Пример. Вычислить синус угла между векторами , .
Имеем: . . .
Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то если , .
Имеем .
Если параллелограмм расположен в плоскости, то и .
Пример. Даны три точки , и .
Найти .
Решение. , где – площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Имеем: , .
.
6о. Смешанное произведение векторов
Пусть даны три вектора , , .
Определение 1.Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектора и перемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор .
В результате получается скалярная величина.