1. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на трех исходящих из одной точки векторах. Смешанное произведение больше нуля, если тройка правая, и отрицательная, если она левая.
Доказательство: Отложим вектора , , из одной точки. Возможны две ситуации:
a) Тройка , , – правая; б) Тройка , , – левая.
Пусть .
Тогда
2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.
Пусть , , ¹ 0.
Пусть , , – компланарны. Тогда ^.
Пусть Þ либо ^, либо .
В первом случае это означает, что вектор ^ векторам , , Þ , , – компланарны. Во втором случае – ||Þ и – линейно зависимы Þ , , – компланарны.
3. Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .
Доказательство. Тройки , , и , , ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.
Обозначение. Смешанное произведение векторов , , обозначается .
4. .
Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.
5. , .
Следует из свойств скалярного произведения.