Можно указать два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике.
Первый путь состоит в том, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Именно таким путем были аксиоматизированы такие математические теории, как арифметика, геометрия, теория вероятностей, механика и другие.
Второй путь возникновения аксиоматических теорий состоит в том, что обнаруживалось глубокое внутреннее сходство между основными чертами, казалось бы, совершенно различных математических теорий. Данное обстоятельство наводило на мысль выделить общие черты и, руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию.
Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем.
Д. Гильберт
На этом пути возникли практически все алгебраические аксиоматические теории (теории групп, колец, полей, общая или универсальная алгебра и другие). При таком подходе появляется возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории. Последнее раскрывает широкие перспективы для приложения таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще.