Для определения опорных реакций необходимо составить уравнения равновесия сил и моментов и решить их относительно неизвестных реакций.
Для равновесия плоской системы сил, необходимо, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил этой системы на каждую из двух координатных осей равнялась нулю и алгебраическая сумма моментов сил относительно опор А и Д (рис.3.3 ) равнялись нулю.
Пример 3.1. Определить опорные реакции балки при следующих данных: АВ = а = 0,3м, ВС = 0,5м, СД = 0,2 м, F1 = 10кН, F2 = 20 kH, α = 600 (Рис.3.3).
Cоставляем и решаем уравнения равновесия:
∑Х = 0; ∑У = 0; ∑МА = 0; ∑МД = 0.
а) Определяем проекции сил на оси действующие на балку:
Уравнение равновесия системы сил: ∑Х = 0; ∑У = 0;
∑Х = F2X - RAX = 0, RAX = - F2·Cos α = - 20·Cos 600 = - 20·0,5 = - 10 кН.
Сила F2, приложенная к балке АД, создаёт реакцию только в опоре А (неподвижная опора) горизонтальную RAX = -10 кН.
Силы F1 и F2, приложенные к балке АД, создают в опорах А и Д вертикальные реакции.
∑У = 0. ∑У = -F1 – F2´ Sin600 = -F1– F2 ∙ sin 600 + RA + RD =
= -10 – 20∙0,866 + RA + RD = - 37,32 + RA + RD = 0.
б) Определяем реакции опор RА и RД
Правило знаков. Момент принято считать положительным, если сила стремиться вращать тело против часовой стрелки, а отрицательный – по часовой стрелке.
Уравнение равновесия системы моментов сил:
∑МА = 0; ∑МД = 0.
Предполагаем, что реакции опор положительны, т.е. направлены в положительном направлении оси У.
Рис.3.3
Мысленно отбрасываем опору Д внешнюю нагрузку действующую на опору Д заменяем реакцией опорой RД.
∑МА = 0;
∑МА = - F1×а – F2×Sin α×(а+в)+RД×(а+в+с) =
=- 10´0,3 – 20×0,866 × ×0,8+ 1хRД = - 3 – 13,856 + RД = 0
RД = 16,856 кН.
Мысленно восстановив опору Д, отбрасываем опору А внешнюю нагрузку действующую на опору А заменяем реакцией опорой RА.
∑МД = 0.
∑МД = - RАY ∙ (а+в+с) + F1 ∙ (в+с) +F2 ∙ Sina ∙ с =
=- RАY ∙ 1 + 10∙0,7 + 20∙0,866∙ 0,2 = - RАY+7+3,464кН.
RaY = 10,464 кН.
Проверка: ∑У = 0;
∑У = RА + RД - F1 – F2´ Sin α =10,464 + 16,856 – 10 -17,32 = 0.
Пример 3.2. Определить опорные реакции балки (рис.3.4) при следующих данных:
F = 10 kH; g = 1 kH/м; М = 20 кН·м; АВ = 1 м; ВД = 2 м; ДЗ = 1 м.
Cоставляем и решаем уравнения равновесия:
∑Х = 0; ∑У = 0; ∑МВ = 0; ∑МД = 0.
Проекции на ось ∑Х = 0;
Проекция от сосредоточенной силы F на ось Х равна нулю.
Проекции равномерно распределенной нагрузки g на ось Х равны нулю. Сумма проекций сил пары на любую ось равны нулю.
Проекции на ось ∑У = 0.
B точке А приложена сосредоточенная сила F, проекция на ось У равна модулю силы F;
Рис.3.4
— участок ВД. Заменяем равномерно распределённую нагрузку равнодействующей (сосредоточенной силой) Fg1 = g´ ВД = 1´ 2 = 2 кН, которая проходит через середину участка ВД и приложена в точке С;
— на участке ДЗ. Заменяем равномерно распределённую нагрузку равнодействующей (сосредоточенной силой) Fg2 = g·ДЗ = 1´ 1 =1 кН, которая проходит через середину участка ДЗ и приложена в точке Е; в точке З приложена пара сил. Сумма проекций сил пары на любую ось равны нулю.
Предполагаем, что реакции опор положительны, т.е. направлены в положительном направлении оси У.
Определяем реакции опор.
∑МВ = 0;
∑МВ = - F·АВ – Fg1´ ВС + RД ´ ВД – Fg2 ´ ВЕ – М =
=-10´· 1 – 1´· 2 + RД · 2 – 2,5´ 1 – 20 =
=-10 – 2 + 2 RД – 2,5 – 20 = 2 RД – 34,5. 2 RД = 34,5 кН.
RД = 17,25кН.
∑МД = 0.
∑МД = - F ·АД – RВ · ВД + Fg1 ·СД – Fg2 ·ДЕ - М = -10∙3 – 2 RВ + 2∙1 – 1∙0,5 –20. 2 RВ = -48,5 кН.
RВ = -24,25 кН.
Знак минус означает, что принятое направление реакции опоры RВ предварительно принятое нами, по полученным расчётам имеет противоположное направление.
Проверка. ∑Х = 0; Проекции на ось Х равны нулю.
∑У = 0; ∑У = F – RВ - Fg1 + RД - Fg2 = 10 - 24,25 – 2 + 17,25 – 1 = 0.