равнодействующей
Рис.2.8
1. Определение равнодействующей R12 (рис.2.9):
Угол между силами F1 и F2 угол τ равен :
τ = 1800 – (α1 + α2) = 1800- 300 – 450 = 1050.
Cos 1050 = - 0,259 (рис.2.9,а).
2. Определение угла Ìβ между равнодействующей R12 и силой F2 (рис.2.9, б).
Сумма углов параллелограмма АВБО равняется 3600, противоположные углы в параллелограмме равны между собой.
Ì АОБ =ÌВОБ= γ = (3600 - 2·1050) : 2 = 750.
- Угол Ìb (ÌБОВ) между равнодействующей R12 и силой F2 определяются при помощи теоремы синусов (рис.13):
Рис.2.9. а) определение равнодействующей R12 сил F1 и F2 по правилу параллелограмма,
б) определение равнодействующей R123 сил R12 и F3 по правилу параллелограмма;
в) определение равнодействующей R123 сил F1, F2, F3 по правилу силового многоугольника.
3. Определение равнодействующей R123:
Угол Ìe между R12 и осью У равен: e = 900 – 450 - 290 = 160.
Угол между силами R12 и силой F3: φ = 290 + 1050 = 1340
Cos 1340 = -0,695
4. Определение угла Ìλ между равнодействующей R123 и силой F3 (рис.2.9, б).
Сумма углов параллелограмма ОВДС равняется 3600, противоположные углы равны между собой. Ìλ = (3600 - 2·134):2 = 460.
§ 2.6 Аналитический (метод проекций) метод определения равнодействующей плоской системы сил
Проекция вектора на ось – величина алгебраическая, т.е. она имеет положительный или отрицательный знак.
Проекцию вектора считают положительной, если она совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной, если она имеет противоположное направление. Обычно осями проекций служат две взаимно перпендикулярные оси координат. Взаимно перпендикулярные оси координат могут быть расположены на плоскости под любым углом к горизонту.
Величины проекций силы на оси могут быть определены из треугольника АВС (рис.13). Здесь величина отрезка АС ~ ab, выражает в масштабе модуль проекции силы на ось ОХ, соответственно величина отрезка АВ, проекция на ось ОУ~a׳b׳. Поэтому проекция вектора на ось Х равна модулю этого вектора, умноженному на косинус угла между векторами и положительным направлением оси Х:
Fх = F Cos a.
Проекции вектора силы на ось Y, определяется произведением модуля силы на синус угла между вектором и положительным направлением оси У:
Fy = F Sin a.
По проекциям вектора на две оси координат можно найти модуль вектора (рис.2.10):
Рис.2.10
Так как проекция равнодействующей силы равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на эту ось.
Равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна корню квадратному из суммы квадратов проекций этой равнодействующей на оси координат.
Рис.2.11
Практическая работа 3. Аналитический метод определения равнодействующей (метод проекций)
Пример 6. На тело в точке О (рис.16) действуют силы F1 = 50 кН; F2 = 100 кН;
F3.= 150 кН. α 1= 300; α2 = 450; α3 = 600 (условие практической работы №1).
Требуется определить равнодействующую R аналитическим методом и углы между равнодействующей и осями ОХ и ОУ.
Рис.2.12
1. Определяем проекцию равнодействующей на ось Х (рис.2.13).
RX= F1X – F2X - F3X = F1· cos 300- F2 ·cos 450- F3 cos 600 =
=50·0,866 - 100·0,707 - 150·0,5 = = 43,3- 50 - 70,7 – 75 = -102,4 кH.
RY= F1Y + F2Y - F3Y = F1 sin 300 + F2 sin 450 - F3 sin 600 =
= 50·0,5 +100·0,707 - 150·0,866 = 25 + 70,7 - 129,9 = -34,2 кH.
Рис.2.13
Аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил.
Если данная плоская система сходящихся сил находится в равновесии, то равнодействующая R такой системы равна нулю, а значит, и проекции равнодействующей на оси координат равны нулю:
RX= ∑FX= 0. RY= ∑FY= 0.
Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций этих сил на каждую из двух координатных осей равнялась нулю.
§ 2.7Разложение сил на две сходящиеся составляющие
Во многих случаях в статике решают обратные задачи – одну силу заменяют двумя сходящимися силами, действующими в известных направлениях.
Разложим заданную силу R.
Принимаем R за диагональ параллелограмма. Из начала и конца силы R проводим прямые, параллельные АС и ВС. Сила FВС изобразиться отрезком Св, сила FАС изобразиться отрезком Са. Стержни АС и АВ растягиваются.
С уменьшением Ìa, Ì АСВ силы FВС и FВС увеличиваются.
Рис.2.14
С уменьшением Ìa, Ì АСВ силы FВС и FВС увеличиваются. Разложение можно также произвести построением силового треугольника, для этого от произвольной точки С откладываем силу R и через её концы проводятся прямые параллельные АВ и АС до их пересечения.